Lista de representações de e

A constante matemática [[e (constante matemática)|Predefinição:Mvar]] pode ser representada de diversas formas como um número real. Por Predefinição:Mvar ser um número irracional, o mesmo não pode ser representado como uma fração, podendo porém ser representado como uma fração contínua. Usando o cálculo, Predefinição:Mvar pode ser representado como série infinita, produto infinito ou limite de uma sequência.

Representação como uma fração contínua

Euler provou que o número Predefinição:Mvar é representado como a fração contínua simples infinita Predefinição:OEIS:

$e=[2;1,\mathbf{\text{2}},1,1,\mathbf{\text{4}},1,1,\mathbf{\text{6}},1,1,\mathbf{\text{8}},1,1,\dots ,\mathbf{\text{2n}},1,1,\dots ].$

Sua convergência pode ser triplicada permitindo apenas um número fracional:

$e=[1,\mathbf{\text{0.5}},12,5,28,9,44,13,60,17,\dots ,\mathbf{\text{4(4n-1)}},\mathbf{\text{4n+1}},\dots ].$

Seguem algumas frações contínuas generalizadas infinitas de Predefinição:Mvar. A segunda é gerada da primeira por uma simples transformação de equivalência. A última é equivalente a [1, 0.5, 12, 5, 28, 9, ...].

$e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{4+\frac{4}{5+\ddots }}}}}=2+\frac{2}{2+\frac{3}{3+\frac{4}{4+\frac{5}{5+\frac{6}{6+\ddots }}}}}$

$e=2+\frac{1}{1+\frac{2}{5+\frac{1}{10+\frac{1}{14+\frac{1}{18+\ddots }}}}}=1+\frac{2}{1+\frac{1}{6+\frac{1}{10+\frac{1}{14+\frac{1}{18+\ddots }}}}}$

Esta última é um caso especial da fórmula geral para a função exponencial:

$e^{\frac{2x}{y}}=1+\frac{2x}{y-x+\frac{x^2}{3y+\frac{x^2}{5y+\frac{x^2}{7y+\frac{x^2}{9y+\ddots }}}}}$