Método de Ridder

Em análise numérica, o Método de Ridder é um algoritmo de localização de raiz baseado no método da posição falsa e no uso de uma função exponencial para aproximar sucessivamente a raiz de uma função contínua $f(x)$. O método é devido a C. Ridder.

O método de Ridder é mais simples do que o método de Muller ou o método de Brent, mas com desempenho semelhante. A fórmula abaixo converge quadraticamente quando a função é bem comportada, o que implica que o número de dígitos significativos adicionais encontrados em cada etapa aproximadamente dobra; mas a função deve ser avaliada duas vezes para cada etapa, então a ordem geral de convergência do método é $\sqrt{2}$. Se a função não for bem comportada, a raiz permanece entre colchetes e o comprimento do intervalo de colchetes pelo menos diminui pela metade em cada iteração, portanto, a convergência é garantida.

Método

Dados dois valores da variável independente, $x_0$ e $x_2$, que estão em dois lados diferentes da raiz procurada, ou seja, $f(x_0)f(x_2)<0$, o método começa avaliando a função no ponto médio $x_1=(x_0+x_2)/2$. Em seguida, encontra-se a função exponencial única $e^{ax}$ tal que a função $h(x)=f(x)e^{ax}$ satisfaz $h(x_1)=(h(x_0)+h(x_2))/2$. Especificamente, o parâmetro $a$ é determinado por

$e^{a(x_1-x_0)}=\frac{f(x_1)-sign[f(x_0)]\sqrt{f(x_1{)}^2-f(x_0)f(x_2)}}{f(x_2)}.$

O método da posição falsa é então aplicado aos pontos $(x_0,h(x_0))$ e $(x_2,h(x_2))$, levando a um novo valor $x_3$ entre $x_0$ e $x_2$,

$x_3=x_1+(x_1-x_0)\frac{sign[f(x_0)]f(x_1)}{\sqrt{f(x_1{)}^2-f(x_0)f(x_2)}},$

que será usado como um dos dois valores de colchetes na próxima etapa da iteração.

O outro valor de colchetes é considerado $x_1$ se $f(x_1)f(x_3)<0$ (caso bem comportado), ou qualquer outro de $x_0$ e $x_2$ tem função valor do sinal oposto a $f(x_3)$. O procedimento pode ser encerrado quando uma determinada precisão for obtida.