Método de Wiener–Hopf

O Método de Wiener–Hopf é uma técnica amplamente utilizada em matemática aplicada. Foi desenvolvido inicialmente por Norbert Wiener e Eberhard Hopf como um método para resolver sistemas de equações integrais, porém foi aplicado com sucesso para resolver equações diferenciais parciais bidimensionais com condições de contorno mistas sobre o mesmo contorno. Em geral, o método explora as propriedades de funções complexas mediante transformação. A transformação típica utilizada é a transformada de Fourier, porém outras transformações já foram empregadas, como a transformada de Mellin.

Em geral, o problema de valores sobre o contorno é transformado, e o sistema resultante é usado para definir um par de funções complexas (tipicamente denotado com subscritos '+' e '-'), que são respectivamente analíticas nas metades superior e inferior do plano complexo, com crescimento não mais rápido que polinômios nestas regiões. Estas duas funções coincidem em alguma região do plano complexo, tipicamente uma tira estreita contendo o eixo real. A extensão analítica garante que estas duas funções definem uma função analítica simples em todo o plano complexo, e o Teorema de Liouville implica que esta função é um polinômio incógnito, que é normalmente zero ou constante. A análise das condições nas bordas e vértices possibilita determinar o grau deste polinômio.

Decomposição de Wiener–Hopf

O ponto crucial em muitos problemas de Wiener-Hopf é decompor uma função arbitrária $\mathrm{\Phi }$ em duas funções ${\mathrm{\Phi }}_{\pm }$ com as propriedades acima delineadas. Em geral, isto pode ser feito escrevendo

${\mathrm{\Phi }}_{+}(\alpha )=\frac{1}{2\pi i}\underset{C_1}{\int }\mathrm{\Phi }(z)\frac{dz}{z-\alpha }$

e

${\mathrm{\Phi }}_{-}(\alpha )=-\frac{1}{2\pi i}\underset{C_2}{\int }\mathrm{\Phi }(z)\frac{dz}{z-\alpha },$

onde os contornos $C_1$ e $C_2$ são paralelos ao eixo real, mas passam acima e abaixo do ponto $z=\alpha$, respectivamente.

Similarmente, funções escalares arbitrárias podem ser decompostas em um produto de funções +/-, isto é, $K(\alpha )=K_{+}(\alpha )K_{-}(\alpha )$, primeiramente tomando o logarítmo, e então procedendo a decomposição de soma. Decomposição de produtos de funções matriciais (que ocorrem em sistemas multi-modais acoplados tal como em ondas elásticas) são mais problemáticos, pois o logarítmo não é bem definido, e qualquer decomposição pode ser não-comutativa. Uma pequena subclasse de decomposições comutativas foi obtida por Khrapkov, e vários métodos aproximados foram também desenvolvidos.

Exemplo

Consideremos a equação diferencial parcial linear

${𝑳}_{xy}f(x,y)=0,$

onde ${𝑳}_{xy}$ é um operador linear que contém derivadas em relação a $x$ e $y$, sujeita a condições mistas sobre $y=0$, para uma função prescrita $g(x)$,

$f=g(x)$ para $x\le 0,f_y=0$ quando $x>0$,

decaindo no infinito, isto é, $f\to 0$ com $𝒙\to \mathrm{\infty }$. Aplicando a transformada de Fourier em relação a x, resulta na seguinte equação diferencial ordinária

${𝑳}_y\hat{f}(k,y)-P(k,y)\hat{f}(k,y)=0,$

onde ${𝑳}_y$ é um operador linear contendo somente derivadas em $y$, $P(k,y)$ é uma função de $y$ e $k$ conhecida e

$\hat{f}(k,y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,y)e^{-ikx}\text{d}x.$

Se uma solução particular desta equação diferencial ordinária que satisfaz o decaimento necessário no infinito é denotada por $F(k,y)$, uma solução geral pode ser expressa como

$\hat{f}(k,y)=C(k)F(k,y),$

sendo $C(k)$ uma função incógnita a ser determinada pelas condições de contorno sobre $y=0$.

O ponto crucial é decompor $\hat{f}$ em duas funções ${\hat{f}}_{+}$ e ${\hat{f}}_{-}$, analíticas nos semi-planos superior e inferior do plano complexo, respectivamente

${\hat{f}}_{+}(k,y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,y)e^{-ikx}\text{d}x,$

${\hat{f}}_{-}(k,y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}f(x,y)e^{-ikx}\text{d}x.$

As condições de contorno fornecem então

$\hat{g}(k)+{\hat{f}}_{+}(k,0)={\hat{f}}_{-}(k,0)+{\hat{f}}_{+}(k,0)=\hat{f}(k,0)=C(k)F(k,0)$

e, com derivadas parciais em relação a $y$,

$\hat{f}{\text{'}}_{-}(k,0)=\hat{f}{\text{'}}_{-}(k,0)+\hat{f}{\text{'}}_{+}(k,0)={\hat{f}}^{\prime }(k,0)=C(k)F^{\prime }(k,0).$

Eliminando $C(k)$ resulta

$\hat{g}(k)+{\hat{f}}_{+}(k,0)=\hat{f}{\text{'}}_{-}(k,0)/K(k),$

com

$K(k)=\frac{F^{\prime }(k,0)}{F(k,0)}.$

Agora $K(k)$ como o produto das funções $K_{-}$ e $K_{+}$, que são analíticas nos semi-planos superior e inferior, respectivamente, ou seja, $K(k)=K_{+}(k)K_{-}(k),$ onde

$\text{log}{K}_{-}=\frac{1}{2\pi i}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\text{log}(K(z))}{z-k}\text{d}z,\text{Im}k>0,$

$\text{log}{K}_{+}=-\frac{1}{2\pi i}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\text{log}(K(z))}{z-k}\text{d}z,\text{Im}k<0.$

Consequentemente,

$K_{+}(k){\hat{g}}_{+}(k)+K_{+}(k){\hat{f}}_{+}(k,0)=\hat{f}{\text{'}}_{-}(k,0)/K_{-}(k)-K_{+}(k){\hat{g}}_{-}(k),$

onde foi assumido que $g$ pode ser decomposta na soma de duas funções $g_{+}$ e $g_{-}$, que são analíticas nos semi-planos superior e inferior, respectivamente. Agora, como o lado esquerdo da equação acima é analítico no semi-plano inferior, enquanto o lado direito é analítico no semi-plano superior, a continuação analítica garante a existência de uma função em todo o plano, que coincide com o lado esquerdo ou com o lado direito em seus respectivos semi-planos. Além disso, como pode ser mostrado que as funções em cada um dos lados da equação acima decaem para grandes valores de $k$, a aplicação do teorema de Liouville mostra que esta única função é identicamente zero, e portanto,

${\hat{f}}_{+}(k,0)=-{\hat{g}}_{+}(k),$

e assim

$C(k)=\frac{\hat{g}(k)-{\hat{g}}_{+}(k)}{F(k,0)}.$

Ver também

• Filtro de Wiener

Ligações externas

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