Métrica induzida

Em matemática e física teórica, a métrica induzida é o tensor métrico definido em uma subvariedade que é calculada a partir do tensor métrico em uma maior variedade em que a subvariedade está incorporada. Ela pode ser calculada utilizando a seguinte fórmula (escrita usando a convenção somatória de Einstein):

$g_{ab}={\partial }_a{X}^{\mu }{\partial }_b{X}^{\nu }{g}_{\mu \nu }(X^{\alpha })$

Nessa fórmula $a,b$ descrevem os índices de coordenadas ${\xi }^a$ da subvariedade enquanto as funções $X^{\mu }({\xi }^a)$ codificam a incorporação na variedade hiperdimensional cujos índices tangentes são denotadas $\mu ,\nu$.

Curva em um toro

Tome

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Pi }:𝒞& \to {ℝ}^3\\ \tau & \mapsto \{\begin{array}{c}{x}^1=(a+b\cos (n\cdot \tau ))\cos (m\cdot \tau )\\ x^2=(a+b\cos (n\cdot \tau ))\sin (m\cdot \tau )\\ x^3=b\sin (n\cdot \tau )\end{array}\end{array}$

sendo um mapa do domínio da curva $𝒞$ com parâmetro $\tau$ para a variável euclidiana ${ℝ}^3$. Aqui $a,b,m,n\in ℝ$ são constantes.

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