Matriz aleatória

Predefinição:Fundamentos de probabilidade Na teoria da probabilidade e na física matemática, uma matriz aleatória é uma variável aleatória com valor de matriz - isto é, uma matriz na qual alguns ou todos os elementos são variáveis aleatórias. Muitas propriedades importantes de sistemas físicos podem ser representadas matematicamente como problemas de matriz. Por exemplo, a condutividade térmica de uma rede pode ser calculada a partir da matriz dinâmica das interações partícula-partícula dentro da rede. A teoria da matriz aleatória foi iniciada por volta dos anos 1950.

Aplicações

Física

Na física nuclear, matrizes aleatórias foram introduzidas por Eugene Wigner para modelar os núcleos de átomos pesados.

Estatística matemática e análise numérica

Em estatísticas multivariadas, matrizes aleatórias foram introduzidas por John Wishart para análise estatística de grandes amostras.

Teoria dos Números

Na teoria dos números, a distribuição de zeros da função zeta de Riemann (e outras funções L) é modelada pela distribuição de autovalores de certas matrizes aleatórias.

Neurociência teórica

No campo da neurociência teórica, matrizes aleatórias são cada vez mais usadas para modelar a rede de conexões sinápticas entre neurônios no cérebro.

Controle ótimo

Na teoria de controle ótimo, a evolução de n variáveis de estado ao longo do tempo depende, a qualquer momento, de seus próprios valores e dos valores de k variáveis de controle. Com a evolução linear, matrizes de coeficientes aparecem na equação de estado (equação de evolução).

Generalizações

As matrizes Wigner são matrizes Hermitianas aleatórias $H_n=(H_n(i,j){)}_{i,j=1}^n$ de modo que as inscrições

$\{H_n(i,j),1\le i\le j\le n\}$

acima da diagonal principal estão variáveis aleatórias independentes com média zero e segundos momentos idênticos.

Conjuntos de matrizes invariantes são matrizes Hermitianas aleatórias com densidade no espaço de matrizes Hermitianas simétricas/Hermitianas/quaterniônicas reais, que tem a forma $\frac{1}{Z_n}{e}^{-n\mathrm{t}\mathrm{r}V(H)},$ onde a função V é chamada de potencial.

Os ensembles gaussianos são os únicos casos especiais comuns dessas duas classes de matrizes aleatórias. Predefinição:Referências Predefinição:Esboço-matemática