Matriz bissimétrica

Padrão de simetria de uma matriz bissimétrica $5\times 5$

Em matemática, uma matriz bissimétrica é uma matriz quadrada simétrica em relação às duas diagonais principais. Mais precisamente, uma matriz $A$, $n\times n$ é bissimétrica se ela satisfaz tanto $A=A^T$ quanto $AJ=JA$, onde $J$ é a matriz de troca $n\times n$.

Por exemplo:

$\left[\begin{array}{ccccc}a& b& c& d& e\\ b& f& g& h& d\\ c& g& i& g& c\\ d& h& g& f& b\\ e& d& c& b& a\end{array}\right].$

Propriedades

• Matrizes bissimétricas são centrossimétricas e persimétricas simétricas.
• O produto de duas matrizes bissimétricas é uma matriz centrosimétrica.
• Matrizes bissimétricas de valor real são precisamente aquelas matrizes simétricas cujos autovalores permanecem os mesmos, exceto por possíveis mudanças de sinal após a pré ou pós-multiplicação pela matriz de troca.
• Se $A$ é uma matriz bissimétrica real com autovalores distintos, então as matrizes que comutam com $A$ devem ser bissimétricas.
• O inverso das matrizes bissimétricas pode ser representado por fórmulas de recorrência.