Matriz de coeficientes

Na álgebra linear, uma matriz de coeficientes é uma matriz que consiste nos coeficientes das variáveis em um conjunto de equações lineares. A matriz é usada na resolução de sistemas de equações lineares.

Matriz de coeficientes

Em geral, um sistema com $m$ equações lineares e $n$ incógnitas pode ser escrito como

$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1$

$a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2$

$⋮$

$a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m$

onde $x_1,x_2,...,x_n$ são as incógnitas e os números $a_{11},a_{12},...,a_{mn}$ são os coeficientes do sistema. A matriz de coeficientes é a matriz $m\mathrm{x}n$ com o coeficiente $a_{ij}$ como a (i, j)-ésima entrada:

$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$

Então, o conjunto de equações acima pode ser expresso de forma mais sucinta como

$Ax=b$

onde $A$ é a matriz de coeficientes e $b$ é o vetor coluna de termos constantes.

Relação de suas propriedades com as propriedades do sistema de equações

Predefinição:Artigo principal Pelo teorema de Rouché-Capelli, o sistema de equações é inconsistente, o que significa que não tem soluções, se o posto da matriz aumentada (a matriz de coeficientes aumentada com uma coluna adicional consistindo do vetor $b$) for maior que o posto da matriz de coeficientes. Se, por outro lado, os postos dessas duas matrizes são iguais, o sistema deve ter pelo menos uma solução. A solução é única se e somente se o posto $p$ for igual ao número $n$ de variáveis. Caso contrário, a solução geral tem $n-p$ parâmetros livres; portanto, em tal caso, há uma infinidade de soluções, que podem ser encontradas impondo valores arbitrários em $n-p$ das variáveis e resolvendo o sistema resultante para sua solução única; diferentes escolhas de quais variáveis corrigir, e diferentes valores fixos delas, fornecem diferentes soluções de sistema.

Equações dinâmicas

Uma matriz de equações de diferenças de primeira ordem com termo constante pode ser escrita como

$y_{t+1}=A{y}_t+c,$

onde $A$ é $n\mathrm{x}n$ e $y$ e $c$ são $n\mathrm{x}1$. Este sistema converge para seu nível de estado estacionário de $y$ se e somente se os valores absolutos de todos os $n$ autovalores de $A$ forem menores que 1.

Uma matriz de equações diferenciais de primeira ordem com termo constante pode ser escrita como

$\frac{dy}{dt}=Ay(t)+c.$

Este sistema é estável se e somente se todos os $n$ autovalores de $A$ tiverem partes reais negativas.