Matriz aumentada

Na álgebra linear, uma matriz aumentada é uma matriz obtida anexando as colunas de duas matrizes fornecidas, geralmente com o objetivo de executar as mesmas operações de linha elementares em cada uma das matrizes fornecidas.

Dadas as matrizes $A$ e $B$, onde

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 0& 1\\ 5& 2& 2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}4\\ 3\\ 1\end{array}\right],$

a matriz aumentada $(A|B)$ é escrita como

$(A|B)=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 2& 4\\ 2& 0& 1& 3\\ 5& 2& 2& 1\end{array}\right].$

Isso é útil ao resolver sistemas de equações lineares.

Para um determinado número de incógnitas, o número de soluções para um sistema de equações lineares depende apenas do posto da matriz que representa o sistema e do posto da matriz aumentada correspondente. Especificamente, de acordo com o teorema de Rouché-Capelli, qualquer sistema de equações lineares é inconsistente (não possui soluções) se o posto da matriz aumentada for maior que o posto da matriz do coeficiente; se, por outro lado, os postos dessas duas matrizes forem iguais, o sistema deverá ter pelo menos uma solução. A solução é única se e somente se o posto for igual ao número de variáveis. Caso contrário, a solução geral terá $k$ parâmetros livres, onde $k$ é a diferença entre o número de variáveis e o posto; portanto, nesse caso, há uma infinidade de soluções.

Uma matriz aumentada também pode ser usada para encontrar a inversa de uma matriz combinando-a com a matriz identidade.

Encontrando a matriz inversa

Seja $C$ a matriz quadrada $2\times 2$

$C=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ -5& 0\end{array}\right].$

Para encontrar o inverso de $C$, criamos $(C|I)$ onde $I$ é a matriz identidade $2\times 2$. Em seguida, reduzimos a parte de $(C|I)$ correspondente a $C$ à matriz identidade usando apenas operações de linha elementares em $(C|I)$.

$(C|I)=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 0\\ -5& 0& 0& 1\end{array}\right]$

$(I|C^{-1})=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -\frac{1}{5}\\ 0& 1& \frac{1}{3}& \frac{1}{15}\end{array}\right]$,

a parte direita é o inverso da matriz $C$ original.

Seja $U$ a matriz quadrada $3\times 3$

$U=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 1& 3& 4\\ 2& 5& 6\end{array}\right].$

Para encontrar o inverso de $U$, criamos $(U|I)$ e usamos operações elementares para escalonar a matriz

$(U|I)=\left[\begin{array}{cccccc}1& 3& 2& 1& 0& 0\\ 1& 3& 4& 0& 1& 0\\ 2& 5& 6& 0& 0& 1\end{array}\right].$

$(I|U^{-1})=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& -1& -4& 3\\ 0& 1& 0& 1& 1& -1\\ 0& 0& 1& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right]$

onde $U^{-1}$ está a direita da matriz identidade.

Existência e número de soluções

Considere o sistema de equações

$\begin{array}{cc}x+y+2z& =3\\ x+y+z& =1\\ 2x+2y+2z& =2.\end{array}$

A matriz dos coeficientes é

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 2& 2& 2\end{array}\right],$

e a matriz aumentada é

$(A|B)=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 3\\ 1& 1& 1& 1\\ 2& 2& 2& 2\end{array}\right].$

Como ambas têm o mesmo posto, ou seja, 2, existe pelo menos uma solução; e como seu posto é menor que o número de incógnitas, sendo a última 3, há um número infinito de soluções.

Por outro lado, considere o sistema

$\begin{array}{cc}x+y+2z& =3\\ x+y+z& =1\\ 2x+2y+2z& =5.\end{array}$

A matriz dos coeficientes é

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 2& 2& 2\end{array}\right],$

e a matriz aumentada é

$(A|B)=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 3\\ 1& 1& 1& 1\\ 2& 2& 2& 5\end{array}\right].$

Neste exemplo, a matriz dos coeficientes possui posto 2, enquanto a matriz aumentada possui posto 3; então esse sistema de equações não tem solução. De fato, um aumento no número de linhas linearmente independentes tornou o sistema de equações inconsistente.

Solução de um sistema linear

Como usado na álgebra linear, uma matriz aumentada é usada para representar os coeficientes e o vetor de solução de cada conjunto de equações.

Para o conjunto de equações

$\begin{array}{cc}x+2y+3z& =0\\ 3x+4y+7z& =2\\ 6x+5y+9z& =11\end{array}$

os coeficientes e termos constantes dão as matrizes

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 4& 7\\ 6& 5& 9\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 11\end{array}\right],$

e, portanto, resulta na matriz aumentada

$(A|B)=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 0\\ 3& 4& 7& 2\\ 6& 5& 9& 11\end{array}\right]$.

Observe que o posto da matriz dos coeficientes, que é 3, é igual ao posto da matriz aumentada; portanto, existe pelo menos uma solução; e como esse posto é igual ao número de incógnitas, existe exatamente uma solução.

Para obter a solução, operações de linha podem ser executadas na matriz aumentada para obter a matriz identidade no lado esquerdo, produzindo

$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 4\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& -2\end{array}\right],$

então a solução do sistema é $(x,y,z)=(4,1,-2)$.

Referências

• Marvin Marcus e Henryk Minc, A survey of matrix theory and matrix inequalities, Dover Publications, 1992, Predefinição:ISBN. Pg. 31.
• Seymour Lipschutz e Marc Lipson, Matemática Discreta - 2.ed., Grupo A - Bookman, 2000, Predefinição:ISBN. Pg. 110