Modelo XY

O modelo XY clássico (às vezes também chamado de modelo clássico de rotor ou modelo O(2)) é um modelo de rede diagonal de mecânica estatística. É o caso especial do modelo vetorial n para $n=2$.

Definição

Dada uma rede diagonal Predefinição:Math dimensional-D, para cada sítio Predefinição:Math da rede existe um vetor de comprimento unitário bidimensional Predefinição:Math

A configuração de rotação, Predefinição:Math é uma atribuição do ângulo Predefinição:Math para cada Predefinição:Math.

Dada uma tradução invariante da interação Predefinição:Math e um campo externo dependente do ponto ${𝐡}_j=(h_j,0)$, a energia de configuração é

$H(𝐬)=-\sum _{i\ne j}{J}_{ij}{𝐬}_i\cdot {𝐬}_j-\sum _j{𝐡}_j\cdot {𝐬}_j=-\sum _{i\ne j}{J}_{ij}\cos ({\theta }_i-{\theta }_j)-\sum _j{h}_j\cos {\theta }_j$

O caso em que Predefinição:Math, exceto para o vizinho mais próximo Predefinição:Mvar, é chamado de "caso do vizinho mais próximo".

A probabilidade de configuração é dada pela distribuição de Boltzmann com temperatura inversa Predefinição:Math:

$P(𝐬)=\frac{e^{-\beta H(𝐬)}}{Z}Z=\underset{[-\pi ,\pi {]}^{\mathrm{\Lambda }}}{\int }\prod _{j\in \mathrm{\Lambda }}d{\theta }_j{e}^{-\beta H(𝐬)}.$

onde Z é a normalização ou função de partição. A notação $⟨A(𝐬)⟩$ indica a expectativa da variável aleatória Predefinição:Math no limite de volume infinito, após as condições de fronteira periódicas terem sido impostas.