Modelo linear

Predefinição:Estatística sidebar Em estatística, o termo modelo linear é usado de diferentes formas de acordo com o contexto. A ocorrência mais comum se dá em conexão com modelos de regressão e o termo é frequentemente assumido como sinônimo de modelo de regressão linear. Entretanto, o termo é também usado em análise de séries temporais com um significado diferente. Em cada caso, a designação "linear" é frequentemente usada para identificar uma subclasse de modelos para os quais uma redução substancial na complexidade da teoria estatística relacionada é possível.

Modelos de regressão linear

Para o caso da regressão, o modelo estatístico é como segue. Dada uma amostra (aleatória)

$(Y_i,X_{i1},\dots ,X_{ip}),i=1,\dots ,n$

, a relação entre as observações

$Y_i$

e as variáveis independentes

$X_{ij}$

é formulada como:

$Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{\varphi }_1(X_{i1})+\cdots +{\beta }_p{\varphi }_p(X_{ip})+{\epsilon }_{i}i=1,\dots ,n;$

em que

${\varphi }_1,\dots ,{\varphi }_p$

podem ser funções não lineares. Acima, as quantidades

${\epsilon }_i$

são variáveis aleatórias que representam os erros na relação. A parte "linear" da designação se relaciona com o aparecimento dos coeficientes de regressão

${\beta }_j$

em uma forma linear na relação acima. Alternativamente, pode-se dizer que os valores previstos correspondentes ao modelo acima, mais precisamente:

${\hat{Y}}_i={\beta }_0+{\beta }_1{\varphi }_1(X_{i1})+\cdots +{\beta }_p{\varphi }_p(X_{ip})(i=1,\dots ,n),$

são funções lineares dos

${\beta }_j$

. Dado que a estimativa é realizada com base em um análise de mínimos quadrados, estimativas dos parâmetros desconhecidos

${\beta }_j$

são determinadas ao minimizar uma função de soma de quadrados:

$S=\sum _{i=1}^n{(Y_i-{\beta }_0-{\beta }_1{\varphi }_1(X_{i1})-\cdots -{\beta }_p{\varphi }_p(X_{ip}))}^2.$

A partir disto, pode-se ver prontamente que o aspecto "linear" do modelo significa o seguinte:

• A função a ser minimizada é uma função quadrática dos ${\beta }_j$, para a qual a minimização é um problema relativamente simples;
• As derivadas da função são funções lineares dos ${\beta }_j$, o que torna mais fácil encontrar os valores minimizantes;
• Os valores minimizantes ${\beta }_j$ são funções lineares das observações $Y_i$;
• Os valores minimizantes ${\beta }_j$ são funções lineares dos erros aleatórios ${\epsilon }_i$, o que torna relativamente fácil determinar as propriedades estatísticas dos valores estimados dos ${\beta }_j$.

Modelos de séries temporais

Um exemplo de um modelo linear de série temporal é um modelo ARMA. Aqui, o modelo para valores

$\{X_t\}$

em uma série temporal pode ser escrito na forma:

$X_t=c+{\epsilon }_t+\sum _{i=1}^p{\varphi }_i{X}_{t-i}+\sum _{i=1}^q{\theta }_i{\epsilon }_{t-i},$

em que novamente as quantidades

${\epsilon }_t$

são variáveis aleatórias que representam inovações, que são novos efeitos aleatórios que aparecem em um certo tempo, mas que também afetam valores de

$X$

em tempos posteriores. Neste exemplo, o uso do termo "modelo linear" se refere à estrutura da relação acima ao representar

$X_t$

como uma função linear dos valores passados da mesma série temporal e dos valores presentes e passados das inovações. Este aspecto particular da estrutura significa que é relativamente simples derivar relações para as propriedades de média e covariância da série temporal. Nota-se que aqui a parte "linear" do termo "modelo linear" não está se referindo ao coeficientes

${\phi }_i$

e

${\theta }_i$

, como seria no caso de um modelo de regressão, que parece estruturalmente semelhante.

Outros usos em estatística

Há algumas outras instâncias em que "modelo não linear" é usado para contrastar com um modelo linearmente estruturado, embora o termo "modelo linear" não seja usualmente aplicado. Um exemplo disto é a redução de dimensionalidade não linear.

Ver também

• Modelo estatístico
• Modelo linear generalizado