Função quadrática

Na álgebra, uma função quadrática, é uma função polinomial associada a um polinômio do segundo grau, então ela possui a mesma forma.

Um polinômio quadrático com duas raízes reais (cruzamentos do eixo x ) e, portanto, sem raízes complexas . Alguns outros polinômios quadráticos têm seu mínimo acima do eixo x, caso em que não há raízes reais e duas raízes complexas.

Por exemplo, uma função quadrática univariada (variável única) tem a forma^[1]

f (x) = a x^{2} + b x + c, a \neq 0

na única variável x . O gráfico de uma função quadrática univariada é uma parábola cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo Predefinição:Math, como mostrado à direita.

Se a função quadrática for definida como zero, o resultado será uma equação quadrática . As soluções para a equação univariada são chamadas de raízes da função univariada.

O caso bivariável em termos de variáveis x e y tem o formulário

f (x, y) = a x^{2} + b y^{2} + c x y + d x + e y + f

com pelo menos um de a, b, c diferente de zero, e uma equação definindo esta função igual a zero dá origem a uma seção cônica (um círculo ou outra elipse, uma parábola ou uma hipérbole ).

Uma função quadrática em três variáveis x, y e z contém exclusivamente os termos x ², y ², z ², xy, xz, yz, x, y, z e uma constante:

f (x, y, z) = a x^{2} + b y^{2} + c z^{2} + d x y + e x z + f y z + g x + h y + i z + j,

com pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f dos termos de segundo grau sendo diferente de zero.

Em geral, pode haver um número arbitrariamente grande de variáveis, caso em que a superfície resultante de definir uma função quadrática como zero é chamada de quádrica, mas o termo de grau mais alto deve ser de grau 2, como x ², xy, yz, etc.

Etimologia

O adjetivo quadrático vem da palavra latina quadrātum (" quadrado "). Um termo como Predefinição:Math é chamado de quadrado em álgebra porque é a área de um quadrado com o lado Predefinição:Math .

Terminologia

Nomenclatura Correta

Nunca deve-se chamar uma função quadrática de "função do segundo grau". Pois tal nome da origem a seguinte pergunta: "O que é o grau de uma função?", Nada! pois uma função não possui grau, o que possui grau é um polinômio.

Coeficientes

Os coeficientes de um polinômio são frequentemente considerados números reais ou complexos, mas, na verdade, um polinômio pode ser definido em qualquer anel .

Grau

Ao usar o termo "polinômio quadrático", os autores às vezes querem dizer "tendo grau exatamente 2", e às vezes "tendo grau no máximo 2". Se o grau for menor que 2, isso pode ser chamado de " caso degenerado ". Normalmente, o contexto estabelecerá qual dos dois se refere.

Às vezes, a palavra "ordem" é usada com o significado de "grau", por exemplo, um polinômio de segunda ordem.

Variáveis

Um polinômio quadrático pode envolver uma única variável x (o caso univariado) ou múltiplas variáveis, como x, y e z (o caso multivariado).

O caso de uma variável

Qualquer polinômio quadrático de variável única pode ser escrito como

a x^{2} + b x + c,

onde x é a variável e a, b e c representam os coeficientes . Na álgebra elementar, esses polinômios costumam surgir na forma de uma equação quadrática $a x^{2} + b x + c = 0$ . As soluções para essa equação são chamadas de raízes do polinômio quadrático e podem ser encontradas por meio da fatoração, do preenchimento do quadrado, da representação gráfica, do método de Newton ou do uso da fórmula quadrática . Cada polinômio quadrático tem uma função quadrática associada, cujo gráfico é uma parábola .

Caso bivariado

Qualquer polinômio quadrático com duas variáveis pode ser escrito como

f (x, y) = a x^{2} + b y^{2} + c x y + d x + e y + f,

onde x e y são as variáveis e a, b, c, d, e e f são os coeficientes. Tais polinômios são fundamentais para o estudo de seções cônicas, que se caracterizam por igualar a expressão de f ( x, y ) a zero. Da mesma forma, polinômios quadráticos com três ou mais variáveis correspondem a superfícies quádricas e hipersuperfícies . Na álgebra linear, polinômios quadráticos podem ser generalizados para a noção de uma forma quadrática em um espaço vetorial .

Formas de uma função quadrática univariada

Uma função quadrática univariada pode ser expressa em três formatos: ^[2]

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ é chamado de formulário padrão ,
$f (x) = a (x - r_{1}) (x - r_{2})$ é chamada de forma fatorada, onde Predefinição:Math e Predefinição:Math são as raízes da função quadrática e as soluções da equação quadrática correspondente.
$f (x) = a (x - h)^{2} + k$ chama-se a forma de vértice, em que Predefinição:Math e Predefinição:Math são as coordenadas Predefinição:Math e Predefinição:Math do vértice, respectivamente.

O coeficiente Predefinição:Math é o mesmo valor em todas as três formas. Para converter a forma padrão para a forma fatorada, é necessária apenas a fórmula quadrática para determinar as duas raízes Predefinição:Math e Predefinição:Math . Para converter a forma padrão em forma de vértice, é necessário um processo chamado preenchimento do quadrado . Para converter a forma fatorada (ou forma de vértice) para a forma padrão, é necessário multiplicar, expandir e / ou distribuir os fatores.

Independentemente do formato, o gráfico de uma função quadrática univariada $f (x) = a x^{2} + b x + c$ é uma parábola (conforme mostrado à direita). Equivalentemente, este é o gráfico da equação quadrática bivariada $y = a x^{2} + b x + c$ .

Se Predefinição:Math, a parábola abre para cima.
Se Predefinição:Math a parábola se abre para baixo.

O coeficiente Predefinição:Math controla o grau de curvatura do gráfico; uma magnitude maior de Predefinição:Math dá ao gráfico uma aparência mais fechada (curva acentuada).

Os coeficientes Predefinição:Math e Predefinição:Math juntos controlam a localização do eixo de simetria da parábola (também a coordenada Predefinição:Math do vértice e o parâmetro h na forma do vértice) que está em

x = - \frac{b}{2 a} .

Além disso, o coeficiente Predefinição:Math está associado ao termo de grau 1 na função. Se observarmos, há uma função de 1º grau contida na função quadrática, equivalente a $y^{1} = b x + c$ . O coeficiente Predefinição:Math corresponde ao coeficiente angular dessa função $f (x^{1}) = y^{1}$ , a qual é sempre tangente de $y = a x^{2} + b x + c$ na altura Predefinição:Math de $f (x^{2})$ , isto é, no ponto (0,c).

O coeficiente Predefinição:Math controla a altura da parábola; mais especificamente, é a altura da parábola onde intercepta o eixo Predefinição:Math .

Vértice

O vértice de uma parábola é o lugar onde ela gira; portanto, também é chamado de ponto de inflexão . Se a função quadrática está na forma de vértice, o vértice é Predefinição:Math . Usando o método de completar o quadrado, pode-se virar o formulário padrão

f (x) = a x^{2} + b x + c

para dentro

\begin{matrix} f (x) & = a x^{2} + b x + c \\ = a (x - h)^{2} + k \\ = a {(x - \frac{- b}{2 a})}^{2} + (c - \frac{b^{2}}{4 a}), \end{matrix}

então o vértice, Predefinição:Math, da parábola na forma padrão é

(- \frac{b}{2 a}, c - \frac{b^{2}}{4 a}) .

Se a função quadrática estiver na forma fatorada então

f (x) = a (x - r_{1}) (x - r_{2})

a média das duas raízes, ou seja:

\frac{r_{1} + r_{2}}{2}

é a coordenada Predefinição:Math do vértice e, portanto, o vértice Predefinição:Math é

(\frac{r_{1} + r_{2}}{2}, f (\frac{r_{1} + r_{2}}{2})) .

O vértice também é o ponto máximo se Predefinição:Math, ou o ponto mínimo se Predefinição:Math .

A linha vertical:

x = h = - \frac{b}{2 a}

que passa pelo vértice é também o eixo de simetria da parábola.

Pontos de máximos e mínimos

Usando o cálculo, o ponto do vértice, sendo um máximo ou mínimo da função, pode ser obtido encontrando as raízes da derivada :

f (x) = a x^{2} + b x + c \Rightarrow f^{'} (x) = 2 a x + b .

Predefinição:Math é uma raíz de Predefinição:Math if Predefinição:Math resultando em:

x = - \frac{b}{2 a}

com o valor da função correspondente temos:

f (x) = a {(- \frac{b}{2 a})}^{2} + b (- \frac{b}{2 a}) + c = c - \frac{b^{2}}{4 a},

então, novamente, as coordenadas do ponto do vértice, Predefinição:Math, podem ser expressas como

(- \frac{b}{2 a}, c - \frac{b^{2}}{4 a}) .

Raízes da função univariada

Predefinição:Quadratic equation graph key points.svg Predefinição:Quadratic function graph complex roots.svg

Raízes exatas

As raízes (ou zeros ), Predefinição:Math e Predefinição:Math, da função quadrática univariada

\begin{matrix} f (x) & = a x^{2} + b x + c \\ = a (x - r_{1}) (x - r_{2}), \end{matrix}

são os valores de Predefinição:Math para os quais Predefinição:Math .

Quando os coeficientes Predefinição:Math, Predefinição:Math e Predefinição:Math são reais ou complexos, as raízes são

r_{1} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a},

r_{2} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Limite superior na magnitude das raízes

O módulo das raízes de um quadrático $a x^{2} + b x + c$ não pode ser maior que $\frac{\max (| a |, | b |, | c |)}{| a |} \times ϕ,$ Onde $ϕ$ é a proporção áurea $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} .$ ^[3] [ importância? ]

A raiz quadrada de uma função quadrática univariada

A raiz quadrada de uma função quadrática univariada dá origem a uma das quatro seções cônicas, quase sempre uma elipse ou uma hipérbole .

E se $a > 0$ então a equação $y = \pm \sqrt{a x^{2} + b x + c}$ descreve uma hipérbole, como pode ser visto ao quadrado de ambos os lados. As direções dos eixos da hipérbole são determinadas pela ordenada do ponto mínimo da parábola correspondente $y_{p} = a x^{2} + b x + c$ . Se a ordenada for negativa, o eixo principal da hipérbole (por meio de seus vértices) é horizontal, enquanto se a ordenada for positiva, o eixo principal da hipérbole é vertical.

E se $a < 0$ então a equação $y = \pm \sqrt{a x^{2} + b x + c}$ descreve um círculo ou outra elipse ou nada. Se a ordenada do ponto máximo da parábola correspondente $y_{p} = a x^{2} + b x + c$ é positivo, então sua raiz quadrada descreve uma elipse, mas se a ordenada é negativa, então ela descreve um locus vazio de pontos.

Iteração

Para iterar uma função $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , aplica-se a função repetidamente, usando a saída de uma iteração como entrada para a próxima.

Nem sempre se pode deduzir a forma analítica de $f^{(n)} (x)$ , O que significa que a ^enésima iteração $f (x)$ . (O sobrescrito pode ser estendido para números negativos, referindo-se à iteração do inverso de $f (x)$ se o inverso existe. ) Mas existem alguns casos analiticamente tratáveis .

Por exemplo, para a equação iterativa

f (x) = a (x - c)^{2} + c

uma tem:

f (x) = a (x - c)^{2} + c = h^{(- 1)} (g (h (x))),

Onde

g (x) = a x^{2}

e

h (x) = x - c .

Então, por indução,

f^{(n)} (x) = h^{(- 1)} (g^{(n)} (h (x)))

pode ser obtido, onde $g^{(n)} (x)$ pode ser facilmente calculado como:

g^{(n)} (x) = a^{2^{n} - 1} x^{2^{n}} .

Finalmente, temos:

f^{(n)} (x) = a^{2^{n} - 1} (x - c)^{2^{n}} + c

como a solução.

Consulte Conjugação topológica para obter mais detalhes sobre a relação entre f e g . E veja Polinômio quadrático complexo para o comportamento caótico na iteração geral.

O mapa logístico

x_{n + 1} = r x_{n} (1 - x_{n}), 0 \leq x_{0} < 1

com o parâmetro 2 < r <4 pode ser resolvido em certos casos, um dos quais é caótico e outro não. No caso caótico r = 4, a solução é

x_{n} = \sin^{2} (2^{n} θ π)

onde o parâmetro de condição inicial $θ$ É dado por $θ = \frac{1}{π} \sin^{- 1} (x_{0}^{1 / 2})$ . Para racional $θ$ , após um número finito de iterações $x_{n}$ mapeia em uma seqüência periódica. Mas quase todos $θ$ são irracionais e, para irracionais $θ$ , $x_{n}$ nunca se repete – não é periódico e exibe uma dependência sensível das condições iniciais, por isso é considerado caótico.

A solução do mapa logístico quando r = 2 é

$x_{n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (1 - 2 x_{0})^{2^{n}}$

para $x_{0} \in [0, 1)$ . Desde a $(1 - 2 x_{0}) \in (- 1, 1)$ para qualquer valor de $x_{0}$ diferente do ponto fixo instável 0, o termo $(1 - 2 x_{0})^{2^{n}}$ vai para 0 enquanto n vai para o infinito, então $x_{n}$ vai para o ponto fixo estável $\frac{1}{2} .$

Função quadrática bivariada (duas variáveis)

Uma função quadrática bivariada é um polinômio de segundo grau da forma

f (x, y) = A x^{2} + B y^{2} + C x + D y + E x y + F

onde A, B, C, D e E são coeficientes fixos e F é o termo constante. Essa função descreve uma superfície quadrática. Configuração $f (x, y)$ igual a zero descreve a interseção da superfície com o plano $z = 0$ , que é um locus de pontos equivalente a uma seção cônica .

Mínimo/máximo

E se $4 A B - E^{2} < 0$ a função não tem máximo ou mínimo; seu gráfico forma um parabolóide hiperbólico.

E se $4 A B - E^{2} > 0$ a função tem um mínimo se A > 0 e um máximo se A <0; seu gráfico forma um parabolóide elíptico. Neste caso, o mínimo ou máximo ocorre em $(x_{m}, y_{m})$ Onde:

x_{m} = - \frac{2 B C - D E}{4 A B - E^{2}},

y_{m} = - \frac{2 A D - C E}{4 A B - E^{2}} .

E se $4 A B - E^{2} = 0$ e $D E - 2 C B = 2 A D - C E \neq 0$ a função não tem máximo ou mínimo; seu gráfico forma um cilindro parabólico.

E se $4 A B - E^{2} = 0$ e $D E - 2 C B = 2 A D - C E = 0$ a função atinge o máximo / mínimo em uma linha - um mínimo se A > 0 e um máximo se A <0; seu gráfico forma um cilindro parabólico.

Veja também

Forma quadrática
Equação quadrática
Representação matricial de seções cônicas
Quadric
Pontos periódicos de mapeamentos quadráticos complexos
Lista de funções matemáticas

Predefinição:Referências

Álgebra 1, Glencoe,Predefinição:ISBN
Álgebra 2, Saxon,Predefinição:ISBN

Ligações externas

Weisstein, Eric W. "Quadratic". MathWorld.

↑ Predefinição:Citar web
↑ Predefinição:Citation, Search result
↑ Lord, Nick, "Golden bounds for the roots of quadratic equations", Mathematical Gazette 91, November 2007, 549.

[wolfram-1] Predefinição:Citar web

[2] Predefinição:Citation, Search result

[3] Lord, Nick, "Golden bounds for the roots of quadratic equations", Mathematical Gazette 91, November 2007, 549.

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Função quadrática

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Etimologia