Completamento de quadrados

Animação representando o processo de completar o quadrado

Na álgebra elementar, completar o quadrado é uma técnica para converter um polinômio quadrático da forma

$a{x}^2+bx+c$

para a forma

$a(x-h{)}^2+k$

para alguns valores de $h$ e $k$.

O completamento de quadrado é usado em

• resolver equações quadráticas,
• derivar a fórmula quadrática,
• representar funções quadráticas graficamente,
• avaliar integrais no cálculo, como integrais gaussianas com um termo linear no expoente,
• encontrar transformadas de Laplace.

Em matemática, o completamento de quadrado é frequentemente aplicado em qualquer cálculo envolvendo polinômios quadráticos.

Visão geral

Contexto

A fórmula na álgebra elementar para calcular o quadrado de um binômio é:

$(x+p{)}^2=x^2+2px+p^2.$

Por exemplo:

$\begin{array}{cccc}(x+3{)}^2& =x^2+6x+9& & (p=3)\\ (x-5{)}^2& =x^2-10x+25& & (p=-5).\end{array}$

Em qualquer quadrado perfeito, o coeficiente de $x$ é duas vezes o número $p$, e o termo constante é igual a $p^2$.

Exemplo básico

Considere o seguinte polinômio quadrático:

$x^2+10x+28.$

Esse quadrático não é um quadrado perfeito, pois 28 não é o quadrado de 5:

$(x+5{)}^2=x^2+10x+25.$

No entanto, é possível escrever o quadrático original como a soma desse quadrado e uma constante:

$x^2+10x+28=(x+5{)}^2+3.$

Isso é chamado de completar o quadrado.

Descrição geral

Dada qualquer quadrática mônica

$x^2+bx+c,$

é possível formar um quadrado com os mesmos dois primeiros termos:

${(x+\frac{1}{2}b)}^2=x^2+bx+\frac{1}{4}{b}^2.$

Esse quadrado difere do quadrático original apenas no valor do termo constante. Portanto, podemos escrever

$x^2+bx+c={(x+\frac{1}{2}b)}^2+k,$

onde $k=c-\frac{b^2}{4}$. Por exemplo:

$\begin{array}{cc}{x}^2+6x+11& =(x+3{)}^2+2\\ x^2+14x+30& =(x+7{)}^2-19\\ x^2-2x+7& =(x-1{)}^2+6.\end{array}$

Caso não-mônico

Dado um polinômio quadrático da forma

$a{x}^2+bx+c$

é possível fatorar o coeficiente a e completar o quadrado para o polinômio mônico resultante.

Exemplo:

$\begin{array}{cc}3x^2+12x+27& =3(x^2+4x+9)\\ & =3((x+2{)}^2+5)\\ & =3(x+2{)}^2+15\end{array}$

Isso nos permite escrever qualquer polinômio quadrático na forma

$a(x-h{)}^2+k.$

Fórmula

Caso escalar

O resultado do preenchimento do quadrado pode ser escrito como uma fórmula. Para o caso geral:

$a{x}^2+bx+c=a(x-h{)}^2+k,\text{onde}h=-\frac{b}{2a}\text{e}k=c-a{h}^2=c-\frac{b^2}{4a}.$

Especificamente, quando $a=1$:

$x^2+bx+c=(x-h{)}^2+k,\text{onde}h=-\frac{b}{2}\text{e}k=c-\frac{b^2}{4}.$

Case matricial

O caso das matrizes é muito semelhante:

$x^{\mathrm{T}}Ax+x^{\mathrm{T}}b+c=(x-h{)}^{\mathrm{T}}A(x-h)+k\text{onde}h=-\frac{1}{2}{A}^{-1}b\text{e}k=c-\frac{1}{4}{b}^{\mathrm{T}}{A}^{-1}b$

onde $A$ tem que ser simétrica.

Se $A$ não é simétrica as fórmulas para $h$ e $k$ devem ser generalizadas para:

$h=-(A+A^{\mathrm{T}}{)}^{-1}b\text{e}k=c-h^{\mathrm{T}}Ah=c-b^{\mathrm{T}}(A+A^{\mathrm{T}}{)}^{-1}A(A+A^{\mathrm{T}}{)}^{-1}b$.

Relação com o gráfico

Predefinição:Multiple image Na geometria analítica, o gráfico de qualquer função quadrática é uma parábola no plano $xy$. Dado um polinômio quadrático da forma

$(x-h{)}^2+k\text{ou}a(x-h{)}^2+k$

os números $h$ e $k$ podem ser interpretados como as coordenadas cartesianas do vértice (ou ponto estacionário) da parábola. Ou seja, $h$ é a coordenada $x$ do eixo de simetria (ou seja, o eixo de simetria tem a equação $x=h$) e $k$ é o valor mínimo (ou valor máximo, se $a<0$) da função quadrática.

Uma maneira de ver isso é notar que o gráfico da função $f(x)=x^2$ é uma parábola cujo vértice está na origem $(0,0)$. Portanto, o gráfico da função $f(x-h)=(x-h{)}^2$ é uma parábola deslocada para a direita por $h$ cujo vértice está em $(h,0)$, conforme mostrado na figura de cima. Por outro lado, o gráfico da função $f(x)+k=x^2+k$ é uma parábola deslocada para cima por $k$ cujo vértice está em $(0,k)$, como mostra a figura central. A combinação dos desvios horizontal e vertical produz $f(x-h)+k=(x-h{)}^2+k$ é uma parábola deslocada para a direita por $h$ e para cima por $k$ cujo vértice está em $(h,k)$, como mostrado em a figura de baixo.

Resolvendo equações quadráticas

Completar o quadrado pode ser usado para resolver qualquer equação quadrática. Por exemplo:

$x^2+6x+5=0,$

O primeiro passo é completar o quadrado:

$(x+3{)}^2-4=0.$

Em seguida, resolvemos o termo ao quadrado:

$(x+3{)}^2=4.$

Então

$x+3=-2\text{ou}x+3=2,$

e portanto

$x=-5\text{ou}x=-1.$

Isso pode ser aplicado a qualquer equação quadrática. Quando o $x^2$ tem um coeficiente diferente de $1$, o primeiro passo é dividir a equação por esse coeficiente: por exemplo, veja o caso não-mônico abaixo.

Raízes irracionais e complexas

Ao contrário dos métodos que envolvem fatoração da equação, que é confiável apenas se as raízes forem racionais, o completamento do quadrado encontrará as raízes de uma equação quadrática, mesmo quando essas raízes forem irracionais ou complexas. Por exemplo, considere a equação

$x^2-10x+18=0.$

Completar o quadrado dá

$(x-5{)}^2-7=0,$

então

$(x-5{)}^2=7.$

Logo,

$x-5=-\sqrt{7}\text{ou}x-5=\sqrt{7},$

Em linguagem terser:

$x-5=\pm \sqrt{7}.$

então

$x=5\pm \sqrt{7}.$

Equações com raízes complexas podem ser tratadas da mesma maneira. Por exemplo:

$\begin{array}{c}{x}^2+4x+5=0\\ (x+2{)}^2+1=0\\ (x+2{)}^2=-1\\ x+2=\pm i\\ x=-2\pm i.\end{array}$

Caso não-mônico

Para uma equação que envolve uma quadrática não-mônica, o primeiro passo para resolvê-las é dividir pelo coeficiente de $x^2$. Por exemplo:

$\begin{array}{c}2x^2+7x+6=0\\ x^2+\frac{7}{2}x+3=0\\ {(x+\frac{7}{4})}^2-\frac{1}{16}=0\\ {(x+\frac{7}{4})}^2=\frac{1}{16}\\ x+\frac{7}{4}=\frac{1}{4}\text{ou}x+\frac{7}{4}=-\frac{1}{4}\\ x=-\frac{3}{2}\text{ou}x=-2.\end{array}$

A aplicação desse procedimento à forma geral de uma equação quadrática leva à fórmula quadrática.

Outras aplicações

Integração

O completamento de quadrado pode ser usado para avaliar qualquer integral da forma

$\int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c}$

usando as integrais básicas

$\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C\text{e}\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)+C.$

Por exemplo, considere a integral

$\int \frac{dx}{x^2+6x+13}.$

Completar o quadrado no denominador fornece:

$\int \frac{dx}{(x+3{)}^2+4}=\int \frac{dx}{(x+3{)}^2+2^2}.$

Agora, isso pode ser avaliado usando a substituição $u=x+3$, que gera

$\int \frac{dx}{(x+3{)}^2+4}=\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{x+3}{2}\right)+C.$

Números complexos

Considere a expressão

$|z{|}^2-b^{*}z-b{z}^{*}+c,$

onde $z$ e $b$ são números complexos, $z^{*}$ e $b^{*}$ são os conjugados complexos de $z$ e $b$, respectivamente, e $c$ é um número real. Usando a identidade $|u{|}^2=u{u}^{*}$, podemos reescrever isso como

$|z-b{|}^2-|b{|}^2+c,$

o que é claramente uma quantidade real. Isto é porque

$\begin{array}{cc}|z-b{|}^2& =(z-b)(z-b{)}^{*}\\ & =(z-b)(z^{*}-b^{*})\\ & =z{z}^{*}-z{b}^{*}-b{z}^{*}+b{b}^{*}\\ & =|z{|}^2-z{b}^{*}-b{z}^{*}+|b{|}^2.\end{array}$

Como outro exemplo, a expressão

$a{x}^2+b{y}^2+c,$

onde $a$, $b$, $c$, $x$ e $y$ são números reais, com $a>0$ e $b>0$, podem ser expressos em termos do quadrado do valor absoluto de um número complexo. Definir

$z=\sqrt{a}x+i\sqrt{b}y.$

Assim,

$\begin{array}{cc}|z{|}^2& =z{z}^{*}\\ & =(\sqrt{a}x+i\sqrt{b}y)(\sqrt{a}x-i\sqrt{b}y)\\ & =a{x}^2-i\sqrt{ab}xy+i\sqrt{ba}yx-i^{2}b{y}^2\\ & =a{x}^2+b{y}^2,\end{array}$

então

$a{x}^2+b{y}^2+c=|z{|}^2+c.$

Matriz idempotente

Uma matriz $M$ é idempotente quando $M^2=M$. As matrizes idempotentes generalizam as propriedades idempotentes de $0$ e $1$. O método de completamento de quadrado de endereçamento da equação

$a^2+b^2=a,$

mostra que algumas matrizes $2\times 2$ idempotentes são parametrizadas por um círculo no plano $(a,b)$:

A matriz $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& 1-a\end{array}\right)$ será idempotente desde que $a^2+b^2=a,$ que, ao completar o quadrado, se torna

$(a-\frac{1}{2}{)}^2+b^2=\frac{1}{4}.$

No plano $(a,b)$, essa é a equação de um círculo com centro $(\frac{1}{2},0)$ e raio $\frac{1}{2}$.

Perspectiva geométrica

Considere completar o quadrado para a equação

$x^2+bx=a.$

Como $x^2$ representa a área de um quadrado com o lado de comprimento $x$, e $bx$ representa a área de um retângulo com os lados $b$ e $x$, o processo de preenchimento do quadrado pode ser visto como manipulação visual de retângulos.

Tentativas simples de combinar os retângulos $x^2$ e $bx$ em um quadrado maior resultam em um canto ausente. O termo Uma variação na técnica adicionado a cada lado da equação de cima é precisamente a área do canto que falta, de onde deriva a terminologia "completar o quadrado".

Uma variação na técnica

Como ensinado convencionalmente, completar o quadrado consiste em adicionar o terceiro termo, $v^2$,

$u^2+2uv$

para obter um quadrado. Há também casos em que se pode adicionar o termo do meio, $2uv$ ou $-2uv$, a

$u^2+v^2$

para obter um quadrado.

Exemplo: a soma de um número positivo e seu valor recíproco

Ao escrever

$\begin{array}{cc}x+\frac{1}{x}& =(x-2+\frac{1}{x})+2\\ & ={(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})}^2+2\end{array}$

mostramos que a soma de um número positivo $x$ e seu recíproco é sempre maior ou igual a $2$. O quadrado de uma expressão real é sempre maior ou igual a zero, o que fornece o limite declarado; e aqui atingimos $2$ justamente quando $x$ é $1$, fazendo com que o quadrado desapareça.

Exemplo: fatorando um polinômio quártico simples

Considere o problema de fatorar o polinômio

$x^4+324.$

Isto é

$(x^2{)}^2+(18{)}^2,$

então o termo do meio é $2(x^2)(18)=36x^2$. Assim temos

$\begin{array}{cc}{x}^4+324& =(x^4+36x^2+324)-36x^2\\ & =(x^2+18{)}^2-(6x{)}^2=\text{uma diferença de dois quadrados}\\ & =(x^2+18+6x)(x^2+18-6x)\\ & =(x^2+6x+18)(x^2-6x+18)\end{array}$

(a última linha foi adicionada apenas para seguir a convenção de graus decrescentes de termos).

Referências

• Algebra 1, Glencoe, Predefinição:ISBN, páginas 539–544
• Algebra 2, Saxon, Predefinição:ISBN, páginas 214–214, 241–242, 256–257, 398–401

Ligações externas

• Predefinição:Planetmath reference