Fórmula quadrática

Em álgebra, a fórmula quadrática, também conhecida como fórmula de Bhaskara no Brasil,^[1] é uma fórmula que fornece a solução de uma equação do 2º grau (ou equação quadrática). Existem outras formas de resolver uma equação quadrática, como fatoração, completamento de quadrados, pelo gráfico da função e outras.

Dada uma equação quadrática geral no formato:

a x^{2} + b x + c = 0

cujo discriminante $b^{2} - 4 a c$ é positivo (onde $x$ representa um valor desconhecido, $a$ , $b$ e $c$ representam constantes, sendo $a \neq 0$ ), a fórmula quadrática é:

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

na qual o sinal de mais ou menos "±" indica que a equação quadrática tem duas soluções.^[2] Quando escritas separadamente, estas são:

x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} e x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Cada uma dessas duas soluções é chamada de raiz (ou zero) da equação quadrática. Geometricamente, essas raízes representam os valores de $x$ em que qualquer parábola, descrita como $y = a x^{2} + b x + c$ , cruza o eixo $x$ .^[3]

Além de ser uma fórmula que fornece as raízes de qualquer parábola, a fórmula quadrática também pode ser usada para identificar o eixo de simetria da mesma parábola,^[4] e o número de raízes reais que uma equação quadrática contém.^[5]

Embora no Brasil seja comumente atribuída a Bhaskara II, uma variante da fórmula que fornece a raiz real de uma equação quadrática já havia sido descoberta séculos antes do nascimento de Bhaskara, pelo matemático indiano Brahmagupta.^[6] Em partes da Alemanha e da Suíça, a fórmula é coloquialmente conhecida como a "fórmula da meia-noite", porque os alunos devem ser capazes de recitá-la mesmo que sejam acordados à meia-noite.^[7]

Formulações equivalentes

Quando o discriminante $b^{2} - 4 a c$ é positivo, a fórmula quadrática também pode ser escrita no formato

$x = - \frac{b}{2 a} \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}},$

que pode ser simplificado para

$x = - \frac{b}{2 a} \pm \sqrt{{(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}} .$

Essa versão da fórmula facilita a descoberta das raízes quando se usa uma calculadora.

Quando o discriminante $b^{2} - 4 a c$ é negativo, raízes complexas estão envolvidas. Nesse caso, a fórmula quadrática acima pode ser descrita com a seguinte expressão (na qual a expressão fora da raíz quadrada é a parte real e a contida na raíz é a parte imaginária):

$x = - \frac{b}{2 a} \pm i \sqrt{| {(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a} |} .$

Método de Muller

Uma fórmula quadrática menos conhecida, que é utilizada no Método de Muller e que pode ser encontrada pelas Fórmulas de Viète, fornece (assumindo $a \neq 0$ , $c \neq 0$ ) as mesmas raízes pela equação:

x = \frac{- 2 c}{b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}} = \frac{2 c}{- b \mp \sqrt{b^{2} - 4 a c}} .

Formulações baseadas em parametrizações alternativas

A parametrização padrão da equação quadrática é

a x^{2} + b x + c = 0 .

Algumas fontes, particularmente as mais velhas, usam parametrizações da equação quadrática como

a x^{2} - 2 b_{1} x + c = 0

, onde

b_{1} = - b / 2

,

ou

a x^{2} + 2 b_{2} x + c = 0

, onde

b_{2} = b / 2

.^[8]

Essas parametrizações resultam em formas levemente diferentes para a solução, mas que são equivalentes à parametrização padrão.

Usando a técnica de 'completar o quadrado'

Método padrão

Divida a equação quadrática por $a$ , que é permitido porque $a \neq 0$ :

x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0 .

Subtraia $\frac{c}{a}$ dos dois lados da equação, o que resulta em:

x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a} .

A equação quadrática agora está em um formato em que a técnica de completar o quadrado é aplicável. Adicionando uma constante a ambos os lados da equação de tal forma que o lado esquerdo da equação se torne um quadrado perfeito, a equação quadrática se torna:

x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2},

o que produz:

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} .

Assim, após reorganizar os termos do lado direito da equação para terem um denominador comum, nós obtemos:

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} .

Desta maneira, completamos o quadrado. Se o discriminante $b^{2} - 4 a c$ é positivo, podemos extrair a raiz quadrada de ambos os lados, resultando na seguinte equação:

x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Nesse caso, isolar a variável $x$ nos fornece a fórmula quadrática:

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Existem múltiplas variações dessa derivação com diferenças mínimas, principalmente em relação à manipulação da constante $a$ .

Método mais curto

Também é possível completar o quadrado com uma sequência mais curta, e muitas vezes mais simples:^[9]

Multiplique cada lado por $4 a$ ,
Reorganize.
Adicione $b^{2}$ a ambos os lados para completar o quadrado.
O lado esquerdo é a expansão do polinômio $(2 a x + b)^{2}$ .
Extraia a raiz quadrada de ambos os lado.
Isole $x$ .

Nesse caso, a fórmula quadrática é derivada da seguinte forma:

\begin{matrix} a x^{2} + b x + c & = 0 \\ 4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c & = 0 \\ 4 a^{2} x^{2} + 4 a b x & = - 4 a c \\ 4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2} & = b^{2} - 4 a c \\ (2 a x + b)^{2} & = b^{2} - 4 a c \\ 2 a x + b & = \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c} (válido se b^{2} - 4 a c é positivo) \\ 2 a x & = - b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c} \\ x & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} . \end{matrix}

Essa derivação da fórmula quadrática é extremamente antiga e era conhecida na Índia pelo menos desde 1025.^[10] Comparada à derivação em uso padrão, essa derivação alternativa evita frações até o último passo e portanto não requer uma reorganização após o terceiro passo para obter um denominador comum no lado direito.^[9]

Por substituição

Outra técnica é a solução por substituição. Nessa técnica, nós substituímos $x = p + q$ na equação quadrática para obtermos:

a (p + q)^{2} + b (p + q) + c = 0 .

Expandindo o resultado e agrupando as potências de $p$ obtemos:

a p^{2} + p (2 a q + b) + (a q^{2} + b q + c) = 0 .

Ainda não impusemos uma segunda condição em $p$ e $q$ , então escolheremos um $q$ para que o termo do meio desapareça. Ou seja, $2 a q + b = 0$ ou $q = \frac{- b}{2 a}$ .

a p^{2} + p (0) + (a q^{2} + b q + c) = 0 .

a p^{2} + (a q^{2} + b q + c) = 0 .

Subtraindo o termo constante de ambos os lados da equação (para movê-lo para o lado direito) e então dividindo por $a$ temos:

p^{2} = \frac{- (a q^{2} + b q + c)}{a} .

Substituindo $m$ temos:

p^{2} = \frac{- (\frac{b^{2}}{4 a} + \frac{- b^{2}}{2 a} + c)}{a} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} .

Portanto, contanto que o discriminante $b^{2} - 4 a c$ seja positivo,

p = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Expressando novamente $p$ em termos de $x$ usando a fórmula $x = p + q = p - \frac{b}{2 a}$ , A fórmula quadrática conhecida pode ser obtida:

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Usando identidades algébricas

O método a seguir foi usada por muitos matemáticos ao longo da história:^[11]

Sejam Predefinição:Math e Predefinição:Math as raízes da equação quadrática padrão. A derivação começa ao lembrarmos da identidade:

(r_{1} - r_{2})^{2} = (r_{1} + r_{2})^{2} - 4 r_{1} r_{2} .

Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, temos:

r_{1} - r_{2} = \pm \sqrt{(r_{1} + r_{2})^{2} - 4 r_{1} r_{2}} .

Sabendo que Predefinição:Math, podemos dividir a equação padrão por Predefinição:Math para obter um polinômio quadrático com as mesmas raízes. Isto é,

x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = (x - r_{1}) (x - r_{2}) = x^{2} - (r_{1} + r_{2}) x + r_{1} r_{2} .

Podemos então perceber que a soma das raízes da equação quadrática padrão é dada por $- \frac{b}{a}$ , e o produto destas raízes é dado por $\frac{c}{a}$ . Com isso em mente, podemos reescrever a identidade da seguinte forma:

r_{1} - r_{2} = \pm \sqrt{{(- \frac{b}{a})}^{2} - 4 \frac{c}{a}} = \pm \sqrt{\frac{b^{2}}{a^{2}} - \frac{4 a c}{a^{2}}} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{a} .

O que leva a,

r_{1} = \frac{(r_{1} + r_{2}) + (r_{1} - r_{2})}{2} = \frac{- \frac{b}{a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{a}}{2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Já que $r_{2} = - r_{1} - \frac{b}{a}$ , se usarmos

r_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

então obtemos

r_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a};

e se ao invés disso usarmos

r_{1} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

então podemos calcular que

r_{2} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Combinando esses resultados usando a abreviação ±, temos que as soluções da equação quadrática são:

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Desenvolvimento histórico

Os primeiros métodos para resolver equações quadráticas eram geométricos. Tabletes cuneiforme babilônios continham problemas reduzíveis a resoluções de equações quadráticas.^[12] O Papiro de Berlim egípcio, que remonta ao Império Médio (2050 a.C até 1710 a.C), contém a solução para uma equação quadrática de dois termos.^[13]

O matemático grego Euclides (c. 300 a.C) usou métodos geométricos para resolver equações quadráticas no Livro 2 de seu tratado matemático Elementos.^[12] Regras para equações quadráticas aparecem no livro chinês Os nove capítulos da arte matemática (c. 200 a.C).^[10] Em seu tratado Arithmetica, o matemático grego Diofanto (c. 250 d.C) resolveu equações quadráticas com um método mais reconhecível como algébrico quando comparado à álgebra geométrica de Euclides.^[12] Sua solução só fornecia uma raiz, mesmo em casos com duas raízes positivas.^[10]

O matemático indiano Brahmagupta (597–668) descreveu explicitamente a fórmula quadrática em seu tratado Brāhmasphuṭasiddhānta,^[14] publicado em 628 d.C., mas escrito em palavras em vez de símbolos.^[15] Sua solução da equação quadrática Predefinição:Math foi a seguinte: "Ao número absoluto multiplicado por quatro vezes o [coeficiente do] quadrado, adicione o quadrado do [coeficiente do] termo médio; a raiz quadrada do mesmo, menos o [coeficiente do] termo médio, sendo dividido por duas vezes o [coeficiente do] quadrado é o valor."^[16] Isso é equivalente a:

x = \frac{\sqrt{4 a c + b^{2}} - b}{2 a} .

O autor do método empregado por Bhaskara Akaria, para resolução das equações quadráticas, foi provavelmente o matemático indiano Predefinição:Ill (870-930 d.C.),^[17] que apresentou um algoritmo para resolver equações quadráticas, embora não haja indicação de que ele tenha considerado ambas as raízes.^[18] A fórmula, por vezes chamada "fórmula de Bhaskara", veio com um matemático francês, François Viète (1540-1603), que deu à fórmula geral, um tratamento algébrico mais formal.

Predefinição:Referências

↑ Predefinição:Citar web
↑ Predefinição:Citar livro
↑ Predefinição:Citar web
↑ Predefinição:Citar web
↑ Predefinição:Citar web
↑ Predefinição:Citar livro
↑ Guido Walz: Gleichungen und Ungleichungen: Klartext für Nichtmathematiker. Springer, 2018, ISBN 9783658216696, S. 14.
↑ Predefinição:Citar web
↑ ^9,0 ^9,1 Predefinição:Citar periódico
↑ ^10,0 ^10,1 ^10,2 Predefinição:Citar livro
↑ Predefinição:Citar periódico
↑ ^12,0 ^12,1 ^12,2 Predefinição:Citar livro
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↑ Bradley, Michael. The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300, p. 86 (Infobase Publishing 2006).
↑ Mackenzie, Dana. The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations, p. 61 (Princeton University Press, 2012).
↑ Predefinição:Citar livro
↑ Sridharacharya Formula, cuemath.com
↑ Predefinição:Citation

[1] Predefinição:Citar web

[2] Predefinição:Citar livro

[3] Predefinição:Citar web

[4] Predefinição:Citar web

[5] Predefinição:Citar web

[6] Predefinição:Citar livro

[7] Guido Walz: Gleichungen und Ungleichungen: Klartext für Nichtmathematiker. Springer, 2018, ISBN 9783658216696, S. 14.

[8] Predefinição:Citar web

[:0-9] 9,0 ^9,1 Predefinição:Citar periódico

[Não_nomeado-xru5-1-10] 10,0 ^10,1 ^10,2 Predefinição:Citar livro

[11] Predefinição:Citar periódico

[Não_nomeado-xru5-2-12] 12,0 ^12,1 ^12,2 Predefinição:Citar livro

[13] Predefinição:Citar livro

[Bradley-14] Bradley, Michael. The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300, p. 86 (Infobase Publishing 2006).

[15] Mackenzie, Dana. The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations, p. 61 (Princeton University Press, 2012).

[Stillwell2004-16] Predefinição:Citar livro

[17] Sridharacharya Formula, cuemath.com

[18] Predefinição:Citation

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Fórmula quadrática

Índice

Formulações equivalentes

Método de Muller

Formulações baseadas em parametrizações alternativas

Usando a técnica de 'completar o quadrado'

Método padrão

Método mais curto

Por substituição

Usando identidades algébricas

Desenvolvimento histórico

Menu de navegação

Fórmula quadrática

Formulações equivalentes

Método de Muller

Formulações baseadas em parametrizações alternativas

Usando a técnica de 'completar o quadrado'

Método padrão

Método mais curto

Por substituição

Usando identidades algébricas

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