Número plástico

Número plástico $\psi$ é uma constante matemática. É a solução real inequívoca da equação cúbica

$x^3-x-1=0.$

Obtém-se

$\psi =\frac{\sqrt[3]{108+12\sqrt{69}}+\sqrt[3]{108-12\sqrt{69}}}{6}.$

Na forma decimal resulta 1,324 717 957 244 746 025 960 908 854 ... Predefinição:OEIS.

A definição do número plástico remete ao arquiteto neerlandês Hans van der Laan.

Propriedades

As duas soluções conjugadas complexas de

$x^3-x-1=0$

são

$(-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i)\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+(-\frac{1}{2}\mp \frac{\sqrt{3}}{2}i)\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}\approx -0,6626\pm 0,5623i$

e podem ser expressas em função do número plástico $\psi$ como

$-\frac{\psi }{2}\pm i\sqrt{\frac{3-\psi }{4\psi }}$ .

Como o produto das três soluções da equação cúbica é 1, a função modular da solução complexa é ${\psi }^{-1/2}\approx 0,86883696183$  Predefinição:OEIS.

O número plástico é o limite do quociente de membros sucessivos da sequência de Padovan

$\psi =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{P_n}{P_{n-1}}$