Operação justaposição

Predefinição:Mais notas Seja $(X,\tau )$ um espaço topológico, $\mathrm{\Omega }(X,x_0,x_1)$ o conjunto de todos os caminhos contínuos de $x_0$ até $x_1$,$\mathrm{\Omega }(X,x_1,x_2)$ o conjunto de todos os caminhos contínuos de $x_1$ até $x_2$ e $\alpha :[0,1]\to X\in \mathrm{\Omega }(X,x_0,x_1)$ e $\beta :[0,1]\to X\in \mathrm{\Omega }(X,x_1,x_2)$ dois caminhos em $X$.

A operação justaposição entre caminhos de um espaço topológico, denotada por $\alpha *\beta$, e definida por:

$\mathrm{\Omega }(X,x_0,x_1)\times \mathrm{\Omega }(X,x_1,x_2)\to \mathrm{\Omega }(X,x_0,x_2)$

$(\alpha ,\beta )\mapsto \alpha *\beta$

Onde $\alpha *\beta$ denota o caminho justaposto:

$\alpha *\beta =\{\begin{array}{c}\alpha (2t),0\le t\le \frac{1}{2},\\ \beta (2t-1),\frac{1}{2}\le t<1\end{array}$

Observe-se que a operação justaposição não é associativa. Com efeito, sejam:

$\alpha \in \mathrm{\Omega }(X,x_0,x_1)$

$\beta \in \mathrm{\Omega }(X,x_1,x_2)$

$\gamma \in \mathrm{\Omega }(X,x_2,x_3)$

Tem-se:

$(\alpha *\beta )*\gamma =\{\begin{array}{c}\alpha (2t)0\le t\le \frac{1}{2},\\ \beta (4t-2)\frac{1}{2}\le t\le \frac{3}{4},\\ \gamma (4t-3)\frac{3}{4}\le t\le 1\end{array}$

e

$\alpha *(\beta *\gamma )=\{\begin{array}{c}\alpha (4t)0\le t\le \frac{1}{4}\\ \beta (4t-1)\frac{1}{4}\le t\le \frac{1}{2}\\ \gamma (2t-2)\frac{1}{2}\le t\le 1\end{array}$

Notamos que os caminhos $(\alpha *\beta )*\gamma$ e $\alpha *(\beta *\gamma )$ são diferentes, porém, podemos mostrar que são homotópicos. De fato, basta considerar a homotopia:

$H:[0,1]\times [0,1]\to X$

$H(t,s)=\{\begin{array}{c}\alpha \left(\frac{4t-s}{s+1}\right);0\le t\le \frac{s+1}{4},\\ \beta (4t-s-1);\frac{s+1}{2}\le t\le \frac{s+2}{4},\\ \gamma \left(\frac{4t-s-2}{2-s}\right);\frac{s+2}{4}\le t\le 1\end{array}$

Se considerarmos então como "equivalentes" dois caminhos homotópicos, teremos a associatividade da operação justaposição. A operação, agora entre classes de homotopia $[\alpha ]$ e $[\beta ]$, denotaremos por $\cdot$. Assim, quando consideramos o conjunto $\mathrm{\Omega }(X,x_0)$ de todos os lacetes com ponto base em $x_0$, a relação de equivalência $ℛ$ como $\alpha ℛ\beta$ se, e só se $\alpha$ é homotópico a $\beta$ e tomamos o quociente:

$\frac{\mathrm{\Omega }(X,x_0)}{ℛ}$

temos que este conjunto com a operação justaposição entre classes de homotopia é um grupo, o qual denotamos por:

${\mathrm{\Pi }}_1(X,x_0)=(\frac{\mathrm{\Omega }(X,x_0)}{ℛ},\cdot )$

e denominamo-lo por grupo fundamental.