Operador numérico

Na mecânica quântica, para sistemas onde o número total de partículas não podem ser preservadas, o operador número é o observável que conta o número de partículas.

O número operador atua sobre o espaço de Fock. Deixe

| Ψ ⟩_{ν} = | ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots, ϕ_{n} ⟩_{ν}

ser um estado de Fock, composto de uma única estado das partícula $| ϕ_{i} ⟩$ elaborado a partir de uma base do espaço subjacente de Hilbert do espaço de Fock. Dada a correspondente criação e aniquilação de operadores^[1] $a^{†} (ϕ_{i})$ e $a (ϕ_{i})$ definimos o número operador por

\hat{N_{i}} \overset{d e f}{=} a^{†} (ϕ_{i}) a (ϕ_{i})

e temos

\hat{N_{i}} | Ψ ⟩_{ν} = N_{i} | Ψ ⟩_{ν}

onde $N_{i}$ é o número de partículas no estado $| ϕ_{i} ⟩$ . A igualdade acima pode ser comprovado observando que

\begin{matrix} a (ϕ_{i}) | ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots, ϕ_{i - 1}, ϕ_{i}, ϕ_{i + 1}, \dots, ϕ_{n} ⟩_{ν} & = & \sqrt{N_{i}} | ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots, ϕ_{i - 1}, ϕ_{i + 1}, \dots, ϕ_{n} ⟩_{ν} \\ a^{†} (ϕ_{i}) | ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots, ϕ_{i - 1}, ϕ_{i + 1}, \dots, ϕ_{n} ⟩_{ν} & = & \sqrt{N_{i}} | ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots, ϕ_{i - 1}, ϕ_{i}, ϕ_{i + 1}, \dots, ϕ_{n} ⟩_{ν} \end{matrix}

depois

\begin{matrix} \hat{N_{i}} | Ψ ⟩_{ν} = a^{†} (ϕ_{i}) a (ϕ_{i}) | ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots, ϕ_{i - 1}, ϕ_{i}, ϕ_{i + 1}, \dots, ϕ_{n} ⟩_{ν} & = & \sqrt{N_{i}} a^{†} (ϕ_{i}) | ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots, ϕ_{i - 1}, ϕ_{i + 1}, \dots, ϕ_{n} ⟩_{ν} \\ = & \sqrt{N_{i}} \sqrt{N_{i}} | ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots, ϕ_{i - 1}, ϕ_{i}, ϕ_{i + 1}, \dots, ϕ_{n} ⟩_{ν} \\ = & N_{i} | Ψ ⟩_{ν} \end{matrix}

Veja também

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Bibliografia

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Segunda quantização notas por Fradkin

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[1] Predefinição:Citar livro

[1]

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