Polinômio aditivo

Predefinição:Mais fontes Em Matemática, polinômio aditivo é um tópico importante dentro da Teoria Algébrica dos Números.

Definição

Seja k um corpo de característica p, com p sendo um número primo. Um polinômio P(x) com coeficientes em k é chamado de polinômio aditivo, ou um polinômio com endomorfismo de Frobenius, ou ainda um polinômio de Frobenius, se

$P(a+b)=P(a)+P(b)$

como polinômio em a e b. É equivalente assumir que esta igualdade é válida para todos os a e b em alguns corpos infinitos contendo k, tal como seu fecho algébrico.

Ocasionalmente o termo absolutamente aditivo é usado para a condição acima, e o termo aditivo é usado para condição mais fraca que P(a + b) = P(a) + P(b) para todo a e b no corpo. Para corpos infinitos, as condições são equivalentes, mas para corpos finitos não são, e a condição mais fraca é a "errada" e não é bem comportado. Por exemplo, sobre um corpo de ordem q qualquer múltiplo P de x^q − x terá satisfeito P(a + b) = P(a) + P(b) para quaisquer a e b no corpo, mas geralmente não será (absolutamente) aditivo.

Exemplos

O polinômio x^p é aditivo. Na verdade, para qualquer a e b no fecho algébrico de k pelo teorema binomial tem-se

$(a+b{)}^p=\sum _{n=0}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{n})a^n{b}^{p-n}.$

Desde que p é primo, para todos n = 1, ..., p−1 o coeficiente binomial $(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{n})$ é divisível por p,o que implica que

$(a+b{)}^p\equiv a^p+b^{p}modp$

como polinômio em a e b.

Similarmente todos os polinômios da forma

${\tau }_p^n(x)=x^{p^n}$

são aditivos, onde n é um inteiro não-negativo.

Anel dos polinômios aditivos

É bastante fácil para provar que qualquer combinação linear de polinômios ${\tau }_p^n(x)$ com coeficientes em k é também um polinômio aditivo. Uma questão interessante é saber se existem outros polinômios aditivos exceto estas combinações lineares. A resposta é que estes são os únicos.

Pode-se verificar que, se P(x) e M(x) são polinômios aditivos, assim são P(x) + M(x) e P(M(x)). Isso implica que os polinômios aditivos formam um anel sobre adição e composição de polinômios. A notação deste anel é

$k\{{\tau }_p\}.$

Este anel é não-comutativo a não ser que k seja igual ao corpo ${𝔽}_p=𝐙/p𝐙$ (ver aritmética modular). De fato, considere o polinômio aditivo ax e x^p para um coeficiente a em k. Para eles, comutar sob composição, deve-se ter

$(ax{)}^p=a{x}^p,$

ou a^p − a = 0. Isto é falso para a não sendo raiz da equação, isto é, para a fora de ${𝔽}_p.$ O polinômio teria mais de p raízes.

Teorema fundamental

Seja P(x) um polinômio com coeficientes em k, e $\{w_1,\dots ,w_m\}\subset k$ o conjunto de suas raízes. Assumindo que as raízes de P(x) são distintas (isto é, P(x) é um polinômio separável), então P(x) é aditivo se e somente se o conjunto $\{w_1,\dots ,w_m\}$ forma um grupo com um corpo aditivo.

Ver também

• Anel
• Corpo
• Grupo
• Função aditiva

Ligações externas

• Predefinição:MathWorld