Postulado de Dedekind

Predefinição:Sem notas O postulado de Dedekind é um axioma de continuidade formulado em termos de cortes de Dedekind. Este postulado é equivalente ao axioma do supremo na construção dos números reais.

Enunciado

Seja um partição $(A,B)$ um corte de Dedekind em um corpo ordenado $K$, ou seja:

• $a\in A,b\in B⟹a<b$
• $A\bigcup B=K$

então $A$ possui um maior elemento ou $B$ possui um menor elemento.

Teorema

• Todo corpo ordenado que satisfaz o postulado de Dedekind é isomórfico ao corpo dos números reais.

Esboço da prova

Por ser um corpo ordenado, este corpo K possui um subcorpo isomórfico a $\mathbb{Q}$, então inicia-se com este isomorfismo $f:\mathbb{Q}\to Q_K\subseteq K$. Seja $x\in ℝ$, então definem-se:

$A_x=\{k\in K|\mathrm{\forall }q\in \mathbb{Q},f(q)<k\}$

$B_x=K-A_x$

Deve-se agora provar que A_x e B_x satisfazem ao postulado, e definir g(x) como o (único) ponto que satisfaz ao corte. Em seguida, prova-se que g é um isomorfismo de $ℝ$ em sua imagem. Finalmente, prova-se que não pode haver mais nenhum elemento em K (visto que tal elemento teria um inverso infinitesimal, e não existem infinitésimos em $ℝ$).

Referências

• Considerações históricas sobre o postulado de Dedekind