Potential delta

Na mecânica quântica, o potencial delta é um poço de potencial matematicamente descrito pela função delta de Dirac - uma função generalizada. Qualitativamente, corresponde a um potencialPredefinição:NotaNT que é zero em todos os lugares, exceto em um único ponto, onde leva um valor infinito.

Potencial delta único

A equação de Schrödinger independente do tempo para a função de onda Predefinição:Math de uma partícula em uma dimensão em um potencial Predefinição:Math é

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x),$

onde Predefinição:Mvar é a constante reduzida de Planck e Predefinição:Mvar é a energia da partícula.

O potencial delta é o potencial

$V(x)=\lambda \delta (x),$

onde Predefinição:Math é a função delta de Dirac.

É chamado um potencial de poço delta se Predefinição:Mvar é negativo e um potencial de barreira delta se Predefinição:Mvar é positivo. O delta foi definido para surgir na origem por simplicidade; uma mudança no argumento da função delta não altera nenhum dos resultados procedentes.

Calculando a função de onda

Para calcular a função de onda que satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo, primeiro substituímos V(x) = λδ(x), ficando com:

$-\frac{\hslash }{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}(x)+\lambda \delta (x)\psi (x)=E\psi (x)$

Para x ≠ 0:

Da própria definição da função delta de Dirac, sabemos que V(x) = 0 para todo x ≠ 0. Assim, nesse intervalo, a equação de Schrodinger que governa essa região, será a seguinte:

$-\frac{\hslash }{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}(x)=E\psi (x)$

Cujas soluções já são conhecidas de outros exemplos mais simples (equação de onda para a partícula livre), que são:

$\psi (x)=A{e}^{\kappa x}+B{e}^{-\kappa x}$

onde

$\kappa =\frac{\sqrt{-2mE}}{\hslash }$

Entretanto, essa combinação linear tem de satisfazer condições de contorno. A função de onda não pode ir a infinito em nenhuma direção. Então, escolhemos a solução $A{e}^{\kappa x}$ para ser a solução para $x<0$ e $B{e}^{-\kappa x}$ para ser a solução para $x>0$. Assim, a função de onda não tende ao infinito em nenhuma direção do espaço. Outra condição de contorno, será que a função de onda deve ser uma função contínua, desta forma, obteremos que $A=B$ e então, a equação de onda será dada por:

$\psi (x)=\{\begin{array}{cc}A{e}^{\kappa x},& x<0\\ A{e}^{-\kappa x},& x>0\end{array}$

Para obter a constante de normalização, precisamos integrar o módulo ao quadrado da função de onda por todo de espaço, e exigir que este seja igual a 1 (ou seja, como o módulo quadrado da função de onda nos dá a função densidade de probabilidade de encontrar a partícula, integra-la por todo o espaço tem de nos dar 100% de chance da partícula estar em algum lugar do espaço).

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|\psi (x){|}^{2}dx=1$

Logo, como $|e^x|=e^x,\mathrm{\forall }x\in \mathrm{\Re }$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}{A}^2{e}^{2\kappa x}dx+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{A}^2{e}^{-2\kappa x}dx=1\Rightarrow A^2(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}{e}^{2\kappa x}dx+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-2\kappa x}dx)=1$

Assim, usando propriedades das exponenciais e das integrais e calculando-as:

$2A^2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-2\kappa x}dx=2A^2(\frac{e^{-\mathrm{\infty }}-e^0}{-2\kappa })=\frac{A^2}{\kappa }=1$

Então, a constante de normalização

$A=\sqrt{\kappa }=\frac{\sqrt{m\lambda }}{\hslash }$

Assim, obtemos a função de onda normalizada:

$\psi (x)=\frac{\sqrt{m\lambda }}{\hslash }{e}^{-\frac{m\lambda }{{\hslash }^2}|x|}$

Nível de energia

Para obter o nível de energia, devemos utilizar a equação de Schrödinger com o potencial delta:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}(x)+\lambda \delta (x)\psi (x)=E\psi (x)$

E então, integrar essa equação sobre o intervalo $x\in [-ϵ,ϵ]$, da seguinte forma:

$\underset{-ϵ}{\overset{ϵ}{\int }}-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}(x)+\lambda \delta (x)\psi (x)dx=\underset{-ϵ}{\overset{ϵ}{\int }}E\psi (x)dx$

Utilizando-se do fato da integração ser um operador linear, podemos separar o lado esquerdo em duas integrais:

$\underset{-ϵ}{\overset{ϵ}{\int }}-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}(x)dx+\underset{-ϵ}{\overset{ϵ}{\int }}\lambda \delta (x)\psi (x)dx=\underset{-ϵ}{\overset{ϵ}{\int }}E\psi (x)dx$

Então, sendo $-\frac{\hslash }{2m}$ constante, tiramos da integração, e, como a função de onda é bem comportada, podemos integrar a derivação, e, utilizando a propriedade de filtragem da delta de dirac na segunda integral, teremos:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}(\frac{d\psi }{dx}(ϵ)-\frac{d\psi }{dx}(-ϵ))+\lambda \psi (0)=\underset{-ϵ}{\overset{ϵ}{\int }}E\psi (x)dx$

Derivando a função de onda, se tem:

$\frac{d\psi }{dx}(x)=\{\begin{array}{cc}A\kappa e^{\kappa x},& x<0\\ -A\kappa e^{-\kappa x},& x>0\end{array}$

Fazendo $ϵ\to 0$, o lado direito da equação tenderá a zero, pois o intervalo de integração tenderá a zero. A derivada da função de onda:

$\underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{d\psi }{dx}(ϵ)=\{\begin{array}{cc}A\kappa ,& ϵ<0\\ -A\kappa ,& ϵ>0\end{array}$

Assim, como $\psi (0)=A$:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}(-2A\kappa )=\lambda A\Rightarrow \kappa =\frac{2m\lambda }{{\hslash }^2}$

Como $\kappa =\frac{\sqrt{-2mE}}{\hslash }$ e isolando a energia, obteremos o nível de energia:

$E=-\frac{m{\lambda }^2}{2{\hslash }^2}$