Princípio da reflexão

O gráfico mostra uma simulação de um processo de Wiener (+/-1 passo unitário) e seu reflexo em um ponto de cruzamento. Usado para ilustrar o princípio da Reflexão na teoria das probabilidades.

Na teoria das probabilidades e nos processos estocásticos, o princípio da reflexão para um processo de Wiener afirma que, se o caminho de um processo de Wiener $f(t)$ atingir um valor $f(s)=a$ em um tempo $t=s$, então o caminho subsequente depois do tempo $s$ tem a mesma distribuição da reflexão do caminho subsequente sobre o valor $a$. Mais formalmente, o princípio da reflexão se refere a um lema que diz respeito à distribuição do supremo do processo de Wiener, também chamado de movimento browniano. O resultado relaciona a distribuição do supremo do movimento browniano até o tempo $t$ com a distribuição do processo no tempo $t$. É um corolário da propriedade forte de Markov do movimento browniano.

Afirmação

Se

$(W(t):t\ge 0)$

for um processo de Wiener a

$a>0$

for um limiar (também chamado de ponto de cruzamento), então o lema afirma:

$\mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a)=2\mathbb{P}(W(t)\ge a).$

De forma mais forte, o princípio da reflexão afirma que, se

$\tau$

for um tempo de parada, então a reflexão do processo de Wiener que começa em

$\tau$

, denotada

$(W^{\tau }(t):t\ge 0)$

, é também um processo de Wiener, em que:

$W^{\tau }(t)=W(t){\chi }_{\{t\le \tau \}}+(2W(\tau )-W(t)){\chi }_{\{t>\tau \}}$

e a função indicadora

${\chi }_{\{t\le \tau \}}=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }t\le \tau \\ 0,& \text{de outro modo }\end{array}$

e

${\chi }_{\{t>\tau \}}$

são definidos de forma semelhante. A forma mais forte implica o lema original ao escolher

$\tau =\inf \{t\ge 0:W(t)=a\}$

.

Prova

O tempo de parada mais precoce para atingir o ponto de cruzamento

$a$

,

${\tau }_a:=\inf \{t:W(t)=a\}$

, é um tempo de parada limitado quase certamente. Então, podemos aplicar a propriedade forte de Markov para deduzir que um caminho relativo subsequente a

${\tau }_a$

, dado por

$X_t:=W(t+{\tau }_a)-a$

, é também um movimento browniano simples independente de

${ℱ}_{{\tau }_a}^W$

. Então, a distribuição de probabilidade para o último tempo

$W(s)$

está no limiar

$a$

ou acima dele no intervalo de tempo

$[0,t]$

e pode ser decomposta como:

$\begin{array}{cc}\mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a)& =\mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a,W(t)\ge a)+\mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a,W(t)<a)\\ & =\mathbb{P}(W(t)\ge a)+\mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a,X(t-{\tau }_a)<0)\\ \end{array}.$

Pela propriedade de torre para expectativas condicionais, o segundo termo se reduz a:

$\begin{array}{cc}\mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a,X(t-{\tau }_a)<0)& =𝔼\left[\mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a,X(t-{\tau }_a)<0|{ℱ}_{{\tau }_a}^W)\right]\\ & =𝔼\left[{\chi }_{\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a}\mathbb{P}(X(t-{\tau }_a)<0|{ℱ}_{{\tau }_a}^W)\right]\\ & =\frac{1}{2}\mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a),\end{array}$

já que

$X(t)$

é um movimento browniano padrão independente de

${ℱ}_{{\tau }_a}^W$

e tem probabilidade

$1/2$

de ser menor que

$0$

. A prova do lema é completada ao substituir isto na segunda linha da primeira equação:

$\begin{array}{cc}\mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a)& =\mathbb{P}(W(t)\ge a)+\frac{1}{2}\mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a)\\ \mathbb{P}(\underset{0\le s\le t}{\sup }W(s)\ge a)& =2\mathbb{P}(W(t)\ge a)\end{array}.$

Consequências

O princípio da reflexão é frequentemente usado para simplificar propriedades distributivas do movimento browniano. Considerando o movimento browniano no intervalo restrito $(W(t):t\in [0,1])$, então o princípio da reflexão nos permite provar que a locação dos máximos $t_{\text{max}}$, que satisfazem $W(t_{\text{max}})=\underset{0\le s\le 1}{\sup }W(s)$, tem a distribuição arco-seno. Esta é uma das leis arco-seno de Lévy.