Processo de Feller

Na teoria das probabilidades relativa aos processos estocásticos, um processo de Feller é um tipo particular de processo de Markov.

Definições

Considere $X$ um espaço de Hausdorff localmente compacto com uma base contável. Considere que $C_0(X)$ denota o espaço de todas as funções contínuas de valores reais em $X$ que desaparecem no infinito, equipadas com a norma uniforme $\Vert f\Vert$. A partir da análise, sabemos que $C_0(X)$ com a norma uniforme é um espaço de Banach.

Um semigrupo de Feller em $C_0(X)$ é uma coleção $\{T_t{\}}_{t\ge 0}$ de mapas lineares positivos de $C_0(X)$ a ela mesma, tal que:

• $||T_{t}f||\le ||f||$ para todo $t\ge 0$ e $f$ em $C_0(X)$, isto é, é uma contração (no sentido fraco);
• A propriedade do semigrupo: $T_{t+s}=T_t{T}_s$ para todo $s,t\ge 0$;
• $\underset{t\to 0}{\lim }||T_{t}f-f||=0$ para toda $f$ em $C_0(X)$. Usando a propriedade do semigrupo, isto é equivalente ao mapa $T_{t}f$ de $t$ em $[0,\mathrm{\infty })$ a $C_0(X)$ sendo contínuo à direita para toda $f$.

Esta terminologia não é uniforme ao longo da literatura. Em particular, o pressuposto de que $T_t$ mapeia $C_0(X)$ em si mesmo é substituído por alguns autores pela condição de que mapeia $C_b(X)$, o espaço das funções contínuas limitadas, em si mesmo. A razão para isto é dupla: em primeiro lugar, permite incluir processos que entram "a partir do infinito" no tempo finito, e, em segundo lugar, é mais adequado para o tratamento de espaços que não são localmente compactos e, para isto, a noção de "desaparecer no infinito" não faz sentido.

Uma função de transição de Feller é uma função de transição de possibilidade associada com um semigrupo de Feller.

Um processo de Feller é um processo de Markov com uma função de transição de Feller.

Gerador

Processos de Feller (ou semigrupos de transição) podem ser descritos por seu gerador infinitesimal. Uma função

$f$

em

$C_0$

é dita no domínio do gerador se o limite uniforme:

$Af=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{T_{t}f-f}{t},$

existe. O operador

$A$

é o gerador de

$T_t$

e o espaço das funções em que é definido é escrito

$D_A$

.

Uma caracterização dos operadores que podem ocorrer como o gerador infinitesimal do processo de Feller é dada pelo teorema de Hille–Yosida. Isto usa o resolvente do semigrupo de Feller definido abaixo.

Resolvente

O resolvente de um processo (ou semigrupo) de Feller é uma coleção de mapas

$(R_{\lambda }{)}_{\lambda >0}$

de

$C_0(X)$

a ele mesmo definida por:

$R_{\lambda }f=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\lambda t}{T}_{t}fdt.$

Pode-se mostrar que satisfaz a identidade:

$R_{\lambda }{R}_{\mu }=R_{\mu }{R}_{\lambda }=(R_{\mu }-R_{\lambda })/(\lambda -\mu ).$

Além disso, para qualquer

$\lambda >0$

, a imagem de

$R_{\lambda }$

é igual ao domínio

$D_A$

do gerador

$A$

e:

$\begin{array}{cc}& R_{\lambda }=(\lambda -A{)}^{-1},\\ & A=\lambda -R_{\lambda }^{-1}.\end{array}$

Exemplos

• O movimento browniano e o processo de Poisson são exemplos de processos de Feller. De forma mais generalizada, todo processo de Lévy é um processo de Feller.
• Processos de Bessel são processos de Feller.
• Soluções a equações diferenciais estocásticas com coeficientes contínuos de Lipschitz são processos de Feller.
• Todo processo de Feller satisfaz a propriedade forte de Markov.

Ver também

• Processo de Markov
• Processo de Hunt