Produto cap

Na topologia algébrica, o produto cap é um método de juntar uma cadeia de grau p com uma co-cadeia de grau q, tal que q ≤ p, para formar uma cadeia composta de grau p - q. Foi introduzido por Eduard Čech em 1936 e, independentemente, por Hassler Whitney em 1938.

Definição

(A)

Deixe $X$ ser um espaço topológico e $R$ um anel de coeficiente. O produto cap é um mapa bilinear de homologia e cohomologia singular.

$⌢:H_p(X;R)\times H^q(X;R)\to H_{p-q}(X;R).$

definido pela contração de uma cadeia singular $\sigma :\mathrm{\Delta }{}^p\to X$ com um complexo de cadeias singulares $\psi \in C^q(X;R),$ pela fórmula :

$\sigma ⌢\psi =\psi (\sigma {|}_{[v_0,\dots ,v_q]})\sigma {|}_{[v_q,\dots ,v_p]}.$

Aqui, a notação $\sigma {|}_{[v_0,\dots ,v_q]}$ indica a restrição do mapa simplexo $\sigma$ a sua face estendida pelos vetores da base, veja Simplexo.

(B)

Deixe $X$ ser um espaço topológico e $R$ um anel comutativo. Para inteiros $i,j$ o produto cap é um mapa bilinear:

$H^i(X)\times H_j(X)\to H_{j-i}(X)$

Equivalentemente, é um mapa linear:

$H^i(X)\otimes H_j(X)\to H_{j-i}(X)$

O produto cap transforma a soma direta dos grupos de homologia em um módulo graduado sobre o anel de cohomologia, quando visto como uma álgebra $R$ graduada.

O produto máximo de $a$ e $b$ é denotado como:

$a⌢b$

Predefinição:Referências Predefinição:Esboço-matemática