Prova de que e é irracional

O [[e (constante matemática)|número Predefinição:Mvar]] foi introduzido por Jacob Bernoulli em 1683. Após mais de um século, Euler, que fora um estudante de Johann, irmão mais novo de Jacob Johann, provou que Predefinição:Mvar é irracional; isto significa que não pode ser expresso como uma razão de dois inteiros.

Prova de Euler

Euler escreveu sua primeira prova do fato de que Predefinição:Mvar é irracional em 1737 (mas o texto foi publicado apenas sete anos depois). Ele computou a representação de Predefinição:Mvar como uma fração contínua simples, que é

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\dots ,2n,1,1,\dots ].$

Como esta fração contínua é infinita e todo número racional tem uma fração contínua finita, Predefinição:Mvar é irracional. Existe uma prova breve da igualdade anterior conhecida. Já que a fração contínua simples de Predefinição:Mvar não é periódica, isso também prova que Predefinição:Mvar não é uma raiz de um polinômio quadrático com coeficientes racionais; em particular, Predefinição:Math é irracional.

Prova de Fourier

A prova mais conhecida é a prova por contradição de Joseph Fourier, que se baseia na igualdade $$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}.$$

Inicialmente, assume-se que Predefinição:Mvar é um número racional, ou seja, que pode ser escrito na forma Predefinição:Math. A ideia é analisar a diferença ampliada (aqui denotada como Predefinição:Mvar) entre a representação em série de Predefinição:Mvar e sua Predefinição:Nowrap soma parcial estritamente menor, que aproxima o valor limite de Predefinição:Mvar. Escolhendo o fator de escala como o fatorial de Predefinição:Mvar, a fração Predefinição:Math e a soma parcial Predefinição:Mvar tornam-se números inteiros, portanto Predefinição:Mvar deve ser um número inteiro positivo. No entanto, a rápida convergência da representação em série implica que Predefinição:Mvar ainda é estritamente menor que 1. A partir dessa contradição, deduzimos que Predefinição:Mvar é irracional.

Agora para os detalhes, se Predefinição:Mvar é um número racional, existem números naturais Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar tal que Predefinição:Math. Definimos o número $$x=b!(e-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!}).$$

Usando suposição de que Predefinição:Math, obtemos $$x=b!(\frac{a}{b}-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!})=a(b-1)!-\sum _{n=0}^b\frac{b!}{n!}.$$

O primeiro termo é um número inteiro, e cada fração na soma é, na verdade, um número inteiro porque Predefinição:Math para cada termo. Portanto, sob a suposição de que Predefinição:Mvar é racional, Predefinição:Mvar é um número inteiro.

Agora, provamos que Predefinição:Math. Primeiro, para provar que Predefinição:Mvar é estritamente positivo, inserimos a representação em série de e na definição de Predefinição:Mvar e obtemos $$x=b!(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!})=\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b!}{n!}>0,$$ pois todos os termos são estritamente positivos.

Agora podemos provar que Predefinição:Math. Para todos os termos com Predefinição:Math temos a estimativa superior $$\frac{b!}{n!}=\frac{1}{(b+1)(b+2)\cdots (b+(n-b))}\le \frac{1}{(b+1{)}^{n-b}}.$$

Essa desigualdade é estrita para todo Predefinição:Math. Ao alterar o índice de soma para Predefinição:Math e usar a fórmula para a série geométrica infinita, obtemos

$x=\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b!}{n!}<\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(b+1{)}^{n-b}}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(b+1{)}^k}=\frac{1}{b+1}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{b+1}}\right)=\frac{1}{b}\le 1.$

E, portanto, Predefinição:Math.

Como não há nenhum número inteiro estritamente entre 0 e 1, chegamos a uma contradição. Portanto, Predefinição:Mvar é irracional, C.Q.D.

Ver também

• Número transcendente
• Teorema de Lindemann–Weierstrass
• Prova da irracionalidade de π