Raio de Einstein

O raio de Einstein é o raio de um anel de Einstein e é um ângulo característico para lentes gravitacionais em geral, pois as distâncias típicas entre imagens em lentes gravitacionais são da ordem do raio de Einstein.

Derivação

Na derivação a seguir do raio de Einstein, assumiremos que toda a massa M do efeito L da galáxia está concentrado no centro da galáxia.

Para uma massa pontual, a deflexão pode ser calculada e é um dos testes clássicos da relatividade geral. Para pequenos ângulos α1, a deflexão total por uma massa pontual M é dada (ver métrica de Schwarzschild) por

${\alpha }_1=\frac{4G}{c^2}\frac{M}{b_1}$

onde

b₁ é o parâmetro de impacto (a distância da aproximação mais próxima do raio de luz ao centro de massa)

Gé a constante gravitacional, e

c é a velocidade da luz.

Observando que, para ângulos pequenos e com o ângulo expresso em radianos, o ponto de aproximação mais próximo b₁ em um ângulo θ₁ para a lente L à distância D_L é dada por Predefinição:Nowrap, podemos re-expressar o ângulo de flexão α₁ como

${\alpha }_1({\theta }_1)=\frac{4G}{c^2}\frac{M}{{\theta }_1}\frac{1}{D_{\mathrm{L}}}$ ..... (Equação 1)

Se definirmos θ_S como o ângulo no qual veríamos a fonte sem a lente (que geralmente não é observável), e θ₁ como o ângulo observado da imagem da fonte em relação à lente, pode-se ver a partir da geometria da lente (contando as distâncias no plano da fonte) que a distância vertical percorrida pelo ângulo θ₁ à distância D_S é o mesmo que a soma das duas distâncias verticais Predefinição:Nowrap e Predefinição:Nowrap. Isso fornece a equação da lente

${\theta }_1{D}_{\mathrm{S}}={\theta }_{\mathrm{S}}{D}_{\mathrm{S}}+{\alpha }_1{D}_{\mathrm{L}\mathrm{S}}$

que pode ser reorganizado para fornecer

${\alpha }_1({\theta }_1)=\frac{D_{\mathrm{S}}}{D_{\mathrm{L}\mathrm{S}}}({\theta }_1-{\theta }_{\mathrm{S}})$ ..... (Equação 2)

Definindo (eq. 1) igual a (eq. 2) e reorganizando, obtemos

${\theta }_1-{\theta }_{\mathrm{S}}=\frac{4G}{c^2}\frac{M}{{\theta }_1}\frac{D_{\mathrm{L}\mathrm{S}}}{D_{\mathrm{S}}{D}_{\mathrm{L}}}$

Para uma fonte logo atrás da lente, Predefinição:Nowrap, e a equação da lente para um ponto de massa dá um valor característico para θ₁ isso é chamado de ângulo de Einstein, denotado θ_E. Quando θ_E é expresso em radianos e a fonte de lente está suficientemente distante, o raio de Einstein, denotado R_E, é dado por

$R_E={\theta }_E{D}_{\mathrm{L}}$.

Colocando Predefinição:Nowrap e resolvendo θ₁ encontramos

${\theta }_E={\left(\frac{4GM}{c^2}\frac{D_{\mathrm{L}\mathrm{S}}}{D_{\mathrm{L}}{D}_{\mathrm{S}}}\right)}^{1/2}$

O ângulo de Einstein para uma massa pontual fornece uma escala linear conveniente para criar variáveis de lente sem dimensão. Em termos do ângulo de Einstein, a equação da lente para uma massa pontual torna-se

${\theta }_1={\theta }_{\mathrm{S}}+\frac{{\theta }_E^2}{{\theta }_1}$

Substituindo as constantes fornece

${\theta }_E={\left(\frac{M}{10^{11.09}{M}_{⨀}}\right)}^{1/2}{\left(\frac{D_{\mathrm{L}}{D}_{\mathrm{S}}/D_{\mathrm{L}\mathrm{S}}}{\mathrm{G}\mathrm{p}\mathrm{c}}\right)}^{-1/2}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}$

Nesta última forma, a massa é expressa em massas solares (M_☉ e as distâncias em Gigaparsec (Gpc).) O raio de Einstein é mais proeminente para uma lente tipicamente a meio caminho entre a fonte e o observador.

Para um aglomerado denso com massa Predefinição:Nowrap a uma distância de 1 Gigaparsec (1 Gpc), esse raio pode ser tão grande quanto 100 arcoseg (chamado lente macro). Para um evento de microlente gravitacional (com massas da ordem de 1 M_☉), procure a distâncias galácticas (digamos D ~ 3 kpc), o raio típico de Einstein seria da ordem de milissegundos. Consequentemente, é impossível observar imagens separadas em eventos de microlente com as técnicas atuais.

Da mesma forma, para o raio de luz inferior que atinge o observador por baixo da lente, temos

${\theta }_2{D}_{\mathrm{S}}=-{\theta }_{\mathrm{S}}{D}_{\mathrm{S}}+{\alpha }_2{D}_{\mathrm{L}\mathrm{S}}$

e

${\theta }_2+{\theta }_{\mathrm{S}}=\frac{4G}{c^2}\frac{M}{{\theta }_2}\frac{D_{\mathrm{L}\mathrm{S}}}{D_{\mathrm{S}}{D}_{\mathrm{L}}}$

e assim

${\theta }_2=-{\theta }_{\mathrm{S}}+\frac{{\theta }_E^2}{{\theta }_2}$

O argumento acima pode ser estendido para lentes que possuem uma massa distribuída, em vez de uma massa pontual, usando uma expressão diferente para o ângulo de curvatura α as posições θ_I(θ_S) das imagens pode ser calculada. Para pequenas deflexões, esse mapeamento é individual e consiste em distorções das posições observadas que são invertíveis. Isso é chamado de lente fraca. Para deflexões grandes, pode-se ter várias imagens e um mapeamento não invertível: isso é chamado de lente forte. Observe que, para que uma massa distribuída resulte em um anel de Einstein, ela deve ser axialmente simétrica. Predefinição:Referências Predefinição:Esboço-astronomia