Raiz cúbica

Representação gráfica da função: y = $\sqrt[3]{x}$

Em ciências e matemática a raiz cúbica de um número $x$ (expressa como $\sqrt[3]{x}$ ou $x^{\frac{1}{3}}$), é o valor numérico tal que, ao ser multiplicado três vezes por si mesmo, dá como resultado $x.$ Por exemplo, a raiz cúbica de 27 é 3, já que $3\times 3\times 3=27.$

Em geral, um número real possui três raízes cúbicas, uma correspondente a um número real, e as outras duas a números complexos. Assim, as raízes cúbicas de 8 são:

$$\sqrt[3]{8}=\{\begin{array}{c}2\\ -1+i\sqrt{3}\\ -1-i\sqrt{3}\end{array}$$

A operação de calcular a raiz cúbica de um número é uma operação associativa com a potenciação e distributiva com a multiplicação e divisão, mas não é associativa ou distributiva com a soma ou a subtração.

Definição formal

As raízes cúbicas de um número $x$ são números $y$ que satisfazem a equação

$$y^3=x$$

Números reais

Se x e y são reais, então existe uma única solução tal que a equação tem apenas uma única solução, e esta corresponde a um número real. Se é empregada esta definição, a raiz cúbica de um número negativo é também um número negativo. Desta forma o princípio da raiz cúbica de x é representada igualmente por:

$$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$$

Se x e y são ambos complexos, então se pode dizer que possui três soluções (se x não é nulo) e assim x tem três raízes cúbicas: uma raiz real e duas complexas, na forma de par conjugado. Este facto deixa interessantes resultados dentro das matemática.

Por exemplo, as raízes do número 1 são:

$$\sqrt[3]{1}=\{\begin{array}{c}1\\ -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\\ -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{array}$$

Estas duas raízes se relacionam com todas as outras raízes cúbicas de outros números. Se um número é raiz cúbica de um número real as raízes cúbicas podem ser calculadas multiplicando o número pelas raízes da raiz cúbica de um.

Números complexos

Para os números complexos, o valor principal das raízes cúbicas se define como:

$$x^{\frac{1}{3}}=\exp \left(\frac{\ln x}{3}\right)$$

Onde ln(x) é o logaritmo natural. Se é escrito x como

$$x=r\exp (i\theta )$$

Onde r é um número real positivo e $\theta$ cai no intervalo:

$$-\pi <\theta \le \pi ,$$

então a raiz cúbica é

$$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{r}\exp \left(\frac{i\theta }{3}\right).$$

Isto significa que em coordenadas polares ao tomar a raiz cúbica de um número complexo se está tomando a raiz cúbica do raio e o ângulo polar está sendo dividido em três partes de tal forma que define as três raízes. Com esta definição, a raiz cúbica de um número negativo é um número complexo, e por exemplo $\sqrt[3]{-8}$ não será -2, senão $1+i\sqrt{3}.$ Naqueles programas que aceitam resultados imaginários (tais como Mathematica), o gráfico da raiz cúbica de x no plano dos números reais dará como resultados valores negativos da raiz por igual..

A raiz cúbica em uma calculadora de mão

Procedente da seguinte identidade:

$$\frac{1}{3}=\frac{1}{2^2}(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^8})(1+\frac{1}{2^{16}})\dots ,$$

Existe um método simples para poder calcular a raiz cúbica de um número em uma calculadora não-científica, o qual requer só as operações aritméticas de multiplicação e raiz quadrada. Não se requer além disso a memória. Se descreve a seguir:

• Pressiona-se o botão de raiz quadrada, duas vezes.
• Pressiona-se o botão de multiplicação.
• Pressiona-se o botão de raiz quadrada duas vezes.
• Pressiona-se o botão de multiplicação.
• Pressiona-se o botão de raiz quadrada quatro vezes.
• Pressiona-se o botão de multiplicação.
• Pressiona-se o botão de raiz quadrada oito vezes.
• Pressiona-se o botão de multiplicação...

O processo é continuado até que número que apareça no visor permaneça sem alterar-se, isto ocorre devido a que tem que aparecer 1 ou um número tal que 0,9999999... (isto significa que se tenha chegado ao limite da precisão da calculadora). Neste momento se pressiona o botão de raiz quadrada uma vez mais e o número que aparece no visor corresponderá a melhor aproximação que a calculadora pode proporcionar da raiz cúbica do número original. No método anterior se substitui a primeira multiplicação por uma divisão, sem modificar o restante do algoritmo, no lugar de averiguar a raiz cúbica se averigua a raiz quinta.

Cálculo manual da raiz cúbica

Igualmente como com as raízes quadradas, existe também uma operação que, ainda que muito pouco utilizada por haver métodos mais simples para resolvê-las, serve para obter o resultado da raiz cúbica de um número dado, a operação é a seguinte:

————————|
  1331  |11
 -1     |——————————————
 ——     |300·1²·3= 900
  0331  | 30·1·3²= 270
  -331  |      3³=  27
  ————  |         ————
   000  |         1197
        |se passa de 331
        |
        |300·1²·2= 600
        | 30·1·2²= 120
        |      2³=   8
        |         ————
        |          728  
        |se passa de 331
        |
        |300·1²·1= 300
        | 30·1·1²=  30
        |      1³=   1
        |          ———
        |          331
        |é igual ou menor
        |a 331

Explicação da operação:

1. Separam-se os dígitos de 3 em 3 da direita para a esquerda à direita da vírgula se não tem decimais e se os tem então as cifras decimais são separadas de 3 em 3 da esquerda para a direita.
2. Procura-se um número cujo cubo seja igual ou menor (se é menor sempre a cifra mais alta possível sem chegar a ultrapassá-lo) à primeira cifra ou conjunto de cifras que se encontram primeiro (à esquerda).
3. À primeira cifra ou conjunto de cifras se lhe resta esse número cujo cubo é igual ou menor ao primeiro conjunto de cifras, e põe-se esse resultado baixando-se ao lado o seguinte grupo de três cifras.

Fórmula Luderiana Racional para Extração de Raiz Cúbica

A raiz cúbica de um número complexo (com aproximadamente 6 casas decimais de precisão) pode ser calculada pela seguinte fórmula - descoberta por Ludenir Santos do estado de Rio Grande do Sul:

$$\sqrt[3]{c}=k.\left(\frac{29z^3+261z^2+255z+22}{7z^3+165z^2+324z+71}\right)$$

Onde:

$$\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{k^3.z},$$ para todo k complexo diferente de "0".

Observe que c, k, z são valores conhecidos.

c é o radicando, ou seja, o número para o qual desejamos saber a raiz cúbica;

k é a base do cubo perfeito mais próximo de c;

Da igualdade, $\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{k^3.z},$ tem-se:

$$c=k^3.z$$

Logo, $z=\frac{c}{k^3}$

O valor de z deve ser o mais próximo possível de "1".

k não precisa ser, obrigatoriamente, um inteiro. A fim de tornar z mais próximo de "1" pode-se trabalhar com k racional.

Exemplos:

a) $\sqrt[3]{61}$

$$\sqrt[3]{c}$$

$$c=61$$

$$27<61<64$$ $$3^3<61<4^3$$

$$k^3=4^3$$

$$k=4$$

Como $z=\frac{c}{k^3}$ então $z=\frac{61}{64}=>z=0.953125$

Aplicando-se o valor de "z" na fórmula luderiana (acima), tem-se:

$$\sqrt[3]{61}=4(0.984124295794616)$$

$$\sqrt[3]{61}=3.936497183$$

Por tratar-se de raiz cúbica, existem mais duas raízes que iremos calcular através das seguintes fórmulas:

$$x2=\frac{-x1+\sqrt{-3.(x1{)}^2}}{2}$$

$$x3=\frac{-x1-\sqrt{-3.(x1{)}^2}}{2}$$

Portanto,

$$x1=3.936497183$$

$$x2=-1.968248591+3.409106562i$$

$$x3=-1.968248591-3.409106562i$$

Estimando o valor de "k" para Reais

Separe os digitos do radicando em grupos de 3 digitos, do final para o início.

Encontre a raiz cúbica aproximada, apenas para o 1o grupo.

Para cada um dos demais grupos, adotar zero.

No exemplo $\sqrt[3]{33.143.428}$ podemos considerar $k=300$

O "3" substitui o 1o grupo porque é a base do cubo perfeito mais próximo de "33", ou seja, $3^3=27$

Um "0" para substituir o 2o grupo que, no caso, é "143"

Outro "0" para substituir o 3o grupo que, no caso, é "428".

Estimando o valor de "k" para Imaginários

Seja o complexo $a+bi$ então ...

1) Sobre o valor absoluto de "k":

Somar os valores absolutos de $a$ e $b,$ ou seja, nesta soma deve-se desconsiderar os sinais de $a$ e $b.$ ..

A estimativa será a base do cubo perfeito mais proximo desta soma.

2) Sobre o sinal de "k":

O sinal de "k" é será igual ao sinal do maior termo do complexo $a+bi,$ ou seja, se |a| for maior que |b| então adotar o sinal de "a" senão adotar o sinal de "b".

b) $\sqrt[3]{11+197i}$

$$\sqrt[3]{c}$$

$$c=11+197i$$

Estimando o valor de k ...

Valor:

$$|11|+|197|=208$$

$$125<208<216$$

$$5^3<208<6^3$$

$$k=6$$

Sinal:

Como |b|>|a| então k receberá o sinal de "b".

$$k$$ é positivo.

Como $z=\frac{c}{k^3}$ então $z=\frac{11+197i}{6^3}=>z=0.0509259259259259+0.912037037037037i$

Aplicando-se o valor de "z" na fórmula luderiana (acima), tem-se:

$$\sqrt[3]{11+197i}=6.(0.845837867090806+0.466844946251768i)$$

$$\sqrt[3]{11+197i}=5.07502720254484+2.80106967751061i$$

Como o valor de "k" foi estimado então precisamos reaplicar a fórmula:

$$k=5.07502720254484+2.80106967751061i$$

$$z=\frac{c}{k^3}$$ então $z=\frac{11+197i}{(5.07502720254484+2.80106967751061i{)}^3}=>z=1.01296791900645+0.00206735560872315i$

Aplicando-se o valor de "z" na fórmula luderiana (acima), tem-se:

$$\sqrt[3]{11+197i}=(5.07502720254484+2.80106967751061i).(1.00430455271257+0.000683224035207582i)$$

$$\sqrt[3]{11+197i}=5.094959166527+2.816594410153i$$

Por tratar-se de raiz cúbica, existem mais duas raízes que iremos calcular através das seguintes fórmulas:

$$x2=\frac{-x1+\sqrt{-3.(x1{)}^2}}{2}$$

$$x3=\frac{-x1-\sqrt{-3.(x1{)}^2}}{2}$$

Portanto,

$$x1=5.094959166527+2.816594410153i$$

$$x2=-0.108237271914-5.820661274534i$$

$$x3=-4.986721894613+3.004066864381i$$