Soma de Cesàro

Em análise matemática, a soma de Cesàro é um meio alternativo de descrever a soma de uma série infinita. Se a série converge, no senso usual, para uma soma α, então a série é também somável por Cesàro e possui valor α. A importância da soma de Cesàro é que uma série divergente pode ter uma soma de Cesàro bem definida.

O método recebe esse nome em homenagem ao matemático italiano Ernesto Cesàro (1859-1906).

Definição

Seja $(a_n)$ uma seqüência, e seja

$s_k=a_1+\cdots +a_k$

onde $s_k$ é a k-ésima soma parcial da série

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$.

A seqüência $(a_n)$ é dita somável no sentido de Cesàro, com soma de Cesàro igual a $\alpha$, se

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{s_1+\cdots +s_n}{n}=\alpha$.

Exemplos

Seja $a_n=(-1{)}^{(n+1)}$ para $n\ge 1$. Isto é, $(a_n)$ é a seqüência

$1,-1,1,-1,\dots$.

Então a seqüência das somas parciais $(s_n)$ é

$1,0,1,0,\dots$,

então esta série, conhecida como série de Grandi, claramente não converge. Por outro lado, os temos da sequência $(\frac{s_1+...+s_n}{n})$ são

$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{2}{4},\frac{3}{5},\frac{3}{6},\frac{4}{7},\frac{4}{8},\dots$,

e daí

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{s_1+\cdots +s_n}{n}=1/2$.

Conseqüentemente a soma de Cesàro da seqüencia $(a_n)$ é $\frac{1}{2}$.

Generalizações

Em 1890, Ernesto Cesàro determinou uma extensa família de métodos de soma que haviam sido chamadas $(C,n)$ para inteiros não negativos $n$. O método $(C,0)$ é apenas uma somatória ordinária, e $(C,1)$ é a somatória de Cesàro como descrita acima.

Os métodos de alta ordem podem ser descritos como segue: dada uma série $\sum a_n$, definem-se as quantidades

$A_n^{-1}=a_n;A_n^{\alpha }=\sum _{k=0}^n{A}_k^{\alpha -1}$

e define-se E_n^α como sendo A_n^α para a série 1 + 0 + 0 + 0 + · · ·. Então a soma $(C,\alpha )$ de $\sum a_n$ é

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{A_n^{\alpha }}{E_n^{\alpha }}$

se ela existir.