Spherium

O modelo spherium consiste de dois elétrons presos na superfície de uma esfera de raio $R$. Ele tem sido usado por Berry e colaboradores para entender tantos sistemas fracamente e fortemente correlacionados e sugeri uma versão "alternativa" para a regra de Hund. Seidl estuda esse sistema no contexto da teoria do funcional da densidade (DFT) para desenvolver a nova funcionais correlaçõe dentro da conexão adiabática.

Definição e solução

O Hamiltoniano eletrônico em unidades atômicas, é

$\hat{H}=-\frac{\underset{1}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}}{2}-\frac{\underset{2}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}}{2}+\frac{1}{u}$

onde $u$ é a distância intereletrônica. Para os estados singletos, pode ser mostrado que a função de onda ${\displaystyle }$ satisfaz a equação de Schrödinger

$(\frac{u^2}{4R^2}-1)\frac{d^{2}S(u)}{d{u}^2}+(\frac{3u}{4R^2}-\frac{1}{u})\frac{dS(u)}{du}+\frac{1}{u}S(u)=ES(u)$

Introduzindo a variável adimensional $x=u/2R$, isso se torna uma função de Heun com pontos singulares em $x=-1,0,+1$. Com base nas conhecidas soluções de Heun, buscamos funções de onda da forma

$S(u)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_k{u}^k$

e substituição na equação anterior produz arelação de recorrência

$s_{k+2}=\frac{s_{k+1}+[k(k+2)\frac{1}{4R^2}-E]s_k}{(k+2{)}^2}$

com os valores iniciais $s_0=s_1=1$. Assim, a condição de cúspide Kato é

$\frac{S^{\prime }(0)}{S(0)}=1$.

A função de onda reduz para o polinomial

$S_{n,m}(u)=\sum _{k=0}^n{s}_k{u}^k$

(onde $m$ o número de raízes entre $0$ e $2R$) se, e somente se, $s_{n+1}=s_{n+2}=0$. Assim, a energia $E_{n,m}$ é uma raiz da equação polinomial $s_{n+1}=0$ (onde $\mathrm{deg}{s}_{n+1}=\lfloor (n+1)/2\rfloor$) e o raio correspondente $R_{n,m}$ é encontrado a partir da equação anterior, o que gera

$R_{n,m}^2{E}_{n,m}=\frac{n}{2}(\frac{n}{2}+1)$

$S_{n,m}(u)$ é a exata função de onda do $m$-esimo estado excitado da simetria singleto S para o raio $R_{n,m}$.

Sabemos que a partir do trabalho de Loos e Gill que a energia HF do menor estado singleto S $E_{\mathrm{H}\mathrm{F}}=1/R$. Segue-se que a exata correlação energia para $R=\sqrt{3}/2$ é $E_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{r}}=1-2/\sqrt{3}\approx -0.1547$ que é muito maior do que a limitação da correlação das energias do íons como hélio ($-0.0467$) ou os átomos de Hooke ($-0.0497$). Isso confirma a visão de que a correlação de elétron na superfície de uma esfera é qualitativamente diferente do que em três dimensões de espaço físico.

Spherium em uma esfera tridimensional

Trabalhos recentes de Loos et al. considerado o caso de dois elétrons confinados em uma esfera tridimensional se repelindo coulombicalmente. Eles relatam um estado fundamental de energia de ($-.0476$).

Veja também

• Lista de sistemas de mecânica quântica com soluções analíticas

Leitura complementar

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