Supremo e ínfimo

Em matemática, definem-se os conceitos de majorante/cota superior, minorante/cota inferior, máximo, mínimo, supremo e ínfimo. Embora estes conceitos estejam todos relacionados, são bem diferentes.

Na análise real, estes conceitos adquirem relevância desde a própria construção dos números reais e estão intimamente ligados à ideia de limite.

Definições

Seja $S$, um subconjunto de um conjunto $P$ parcialmente ordenado pela relação $\le$.

• Um elemento $M\in P$ é dito majorante, limite superior ou cota superior de $S$ se:

$x\le M,\mathrm{\forall }x\in S$

• Um elemento $m\in P$ é dito minorante, limite inferior ou cota inferior de $S$ se:

$m\le x,\mathrm{\forall }x\in S$

• Um elemento $s\in P$ é dito supremo de $S$ se for o menor dos majorantes:

$x\le s,\mathrm{\forall }x\in S$ e

$x\le s^{\prime },\mathrm{\forall }x\in S\Rightarrow s\le s^{\prime }$

• Um elemento $i\in P$ é dito ínfimo de $S$ se for o maior dos minorantes:

$i\le x,\mathrm{\forall }x\in S$ e

$i^{\prime }\le x,\mathrm{\forall }x\in S\Rightarrow i^{\prime }\le i$

• Um majorante $M\in P$ é dito máximo de $S$ se $M\in S$.
• Um minorante $m\in P$ é dito mínimo de $S$ se $m\in S$.
• Se um conjunto tem majorante, diz-se que está limitado superiormente.
• Se um conjunto tem minorante, diz-se que está limitado inferiormente.

Notação

• Se um conjunto $S$ possui máximo, ele é denotado:

$\max S=\underset{x\in S}{\max }x$

• Se um conjunto $S$ possui mínimo, ele é denotado:

$\min S=\underset{x\in S}{\min }x$

• Se um conjunto $S$ possui supremo, ele é denotado:

$\sup S=\underset{x\in S}{\sup }x$

• Se um conjunto $S$ possui ínfimo, ele é denotado:

$\inf S=\underset{x\in S}{\inf }x$

Se $f:S\to P$ é uma função de um conjunto $S$ em um conjunto parcialmente ordenado $P$, então usa-se a notação:

$\sup f(S)=\underset{x\in S}{\sup }f(x)$ e suas análogas.

Completude

Seja (A, ≤) um conjunto parcialmente ordenado. A é dito completo se para todo conjunto B⊆A, B≠∅, se B tem majorante, então tem supremo.

Este conceito não deve ser confundido com a completude lógica nem com a completude de uma teoria axiomática, pois são conceitos diferentes.

Exemplos

• O intervalo fechado $[0,1]=\{x\in ℝ:0\le x\le 1\}$ possui um elemento mínimo $0$ e máximo $1$.
• O intervalo semi fechado $[0,1)=[0,1[=\{x\in ℝ:0\le x<1\}$ possui um elemento mínimo $0$, todo $x\ge 1,x\in ℝ,$ é majorante do conjunto e seu supremo nos reais é o $1$ que não pertence ao conjunto e, portanto, esse conjunto não tem máximo.
• $\{x\in \mathbb{Q}:x^2\le 2\}$

Esse conjunto possui um supremo real, $\sqrt{2}$ e infinitas cotas superiores racionais. No entanto, não possui supremo nos números racionais. Portanto, o conjunto dos números racionais não é completo. Por outro lado, o conjunto dos números reais é completo.

• $𝒫\left(A\right)$, para um conjunto qualquer $A$ considerando a ordem parcial ampla inclusão, $\subseteq$

Esse conjunto tem mínimo $\varnothing$ e máximo $A$, segundo a ordem $\subseteq$.

Todo $B\subseteq 𝒫\left(A\right),B\ne \varnothing$ tem supremo e ínfimo em $𝒫\left(A\right)$, segundo a ordem $\subseteq$.

Propriedades

• $\inf S\le \sup S$, contanto que ambos existam.

Propriedades de monotonicidade:

• $A\subseteq B⟹\sup A\le \sup B$, contanto que ambos existam.
• $A\subseteq B⟹\inf B\le \inf A$, contanto que ambos existam.

Propriedades algébricas:

• Se $A$ e $B$ são conjuntos limitados e $A+B=\{x+y:x\in A,y\in B\}$ então

$\sup (A+B)=\sup A+\sup B$ e $\inf (A+B)=\inf A+\inf B$.

• Se $A$ é um conjunto limitado e $k\in ℝ$ então

$\sup (kA)=\{\begin{array}{cc}k\sup A,& \text{if }k\ge 0,\\ k\inf A,& \text{if }k<0,\end{array}$ e $\inf (kA)=\{\begin{array}{cc}k\inf A,& \text{se }k\ge 0,\\ k\sup A,& \text{se }k<0,\end{array}$

onde $kA=\{kx:x\in A\}.$ (Ver Elon Lages Lima).

No conjunto de números reais

• Todo conjunto não-vazio de números reais limitado superiormente possui um supremo.
• Todo conjunto não-vazio de números reais limitado inferiormente possui um ínfimo.

Considerando os reais estendidos, ${ℝ}_e=ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$, podemos considerar:

• O supremo de um conjunto não limitado superiormente é definido como $+\mathrm{\infty }$.
• O ínfimo de um conjunto não limitado inferiormente é definido como $-\mathrm{\infty }$.
• Na notação de supremo, temos que uma função $f:D\to ℝ$ é limitada se e somente se:

$\mathrm{\exists }\underset{x\in D}{\sup }|f(x)|$, ou, considerando os reais estendidos, $\underset{x\in D}{\sup }|f(x)|<\mathrm{\infty }$

Supremo e ínfimo do conjunto vazio

Ainda considerando os números reais estendidos, por completeza e a fim de manter a monotonicidade, definem-se o supremo e o ínfimo do conjunto vazio (quando este é visto como um subconjunto dos reais):

• $\sup \mathrm{\varnothing }=-\mathrm{\infty }$
• $\inf \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\infty }$