Teorema da base média do triângulo

O teorema da base média do triângulo afirma que, dado um triângulo qualquer, o segmento com extremos nos pontos médios de dois lados desse triângulo é paralelo ao terceiro lado, e sua medida é igual a metade desse terceiro lado.

Demonstração

Triângulo ABC qualquer.

Demostração da base média

Dado um $\mathrm{△}ABC$ qualquer, sendo M ponto médio do lado $\overline{AB}$ e N o ponto médio do lado $\overline{AC}$. Queremos mostrar que $\overline{MN}//\overline{BC}$ e ainda $MN=\frac{1}{2}BC.$

Hipótese: $\{\begin{array}{c}\overline{AM}\equiv \overline{MB}\\ \overline{AN}\equiv \overline{NC}\end{array}$ Tese:$\{\begin{array}{c}\overline{MN}//\overline{BC}\\ MN=\left(\frac{1}{2}\right)BC\end{array}$

Traçando s paralela a $\overline{AB}$, passando por C. Onde $\overleftrightarrow{MN}\cap s=D$

Pelo caso lado, ângulo, ângulo oposto: $\mathrm{△}AMN\equiv \mathrm{△}CDN\Rightarrow \{\begin{array}{c}\overline{AN}\equiv \overline{CN}\text{ (hipótese) }\\ A\hat{N}M\equiv C\hat{N}D\text{ (oposto pelo vértice) }\\ A\hat{M}N\equiv C\hat{D}N\text{ (alternos internos) }\end{array}$

Consequentemente temos $\overline{CD}\equiv \overline{AM}\equiv \overline{MB}$ e como $\overline{CD}//\overline{MB}$ temos que BCDM é paralelogramo, logo $\overline{MN}//\overline{BC}$. Ainda da congruência dos triângulos temos $\overline{MN}\equiv \overline{ND}$ e como $\overline{MD}\equiv \overline{BC}$, então $MN=\frac{1}{2}BC$. Predefinição:Referências Predefinição:Esboço-geometria