Teorema da borboleta

Figura geométrica semelhante a uma borboleta.

O teorema da borboleta é um resultado clássico na geometria euclidiana, que pode ser formulado da seguinte maneira:

Seja M o ponto médio de uma corda PQ de um círculo, através do qual outras duas cordas AB e CD são desenhadas; AD e BC cruzam a corda PQ em X e Y respectivamente. Então M é o ponto médio de XY.

Uma prova formal do teorema é assim demonstrada:

Sejam as perpendiculares $X{X}^{\prime }$ e $X{X}^{″}$ formadas a partir do ponto $X$ nas linhas retas $AM$ e $DM$ respectivamente. De forma similar, sejam $Y{Y}^{\prime }$ e $Y{Y}^{″}$ formadas a partir do ponto $Y$, perpendicular às linhas retas $BM$ e $CM$ respectivamente.

Temos que a resposta do sd6 está aqui.

$\mathrm{△}MX{X}^{\prime }\sim \mathrm{△}MY{Y}^{″}⟹\frac{MX}{MY}=\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{″}},$

$\mathrm{△}MX{X}^{″}\sim \mathrm{△}MY{Y}^{\prime }⟹\frac{MX}{MY}=\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{\prime }},$

$\mathrm{△}AX{X}^{\prime }\sim \mathrm{△}CY{Y}^{\prime }⟹\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{\prime }}=\frac{AX}{CY},$

$\mathrm{△}DX{X}^{″}\sim \mathrm{△}BY{Y}^{″}⟹\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}}=\frac{DX}{BY},$

Das equações anteriores, fica fácil visualizar que

${\left(\frac{MX}{MY}\right)}^2=\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{″}}\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{\prime }},$

$=\frac{AX.DX}{CY.BY},$

$=\frac{PX.QX}{PY.QY},$

$=\frac{(PM-XM).(MQ+XM)}{(PM+MY).(QM-MY)},$

$=\frac{(PM{)}^2-(MX{)}^2}{(PM{)}^2-(MY{)}^2},$

uma vez que $PM$ = $MQ$

Agora,

$\frac{(MX{)}^2}{(MY{)}^2}=\frac{(PM{)}^2-(MX{)}^2}{(PM{)}^2-(MY{)}^2}.$

Portanto, conclui-se que

$MX=MY,$ ou $M$ é o ponto médio de $XY.$

Ver também

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Ligações externas

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