Teorema de Brun–Titchmarsh

Predefinição:Sem-notas Em teoria analítica dos números, o teorema de Brun–Titchmarsh, devido a Viggo Brun e Edward Charles Titchmarsh, é um limite superior na distribuição dos números primos em progressão aritmética.

Enunciado

Afirma que, se $\pi (x;q,a)$ conta o número de primos p congruentes a a modulo q com p ≤ x, então

$\pi (x;q,a)\le \frac{2x}{\phi (q)\log (x/q)}$

para todos q < x.

História

O resultado foi provado por um método de crivos por Montgomery e Vaughan; anteriormente Brun e Titchmarsh provaram uma versão mais fraca desta desigualdade com um fator multiplicativo adicional de $1+o(1)$.

Aprimoramentos

Se q é relativamente pequeno, por exemplo, $q\le x^{9/20}$, então existe um limite melhor:

$\pi (x;q,a)\le \frac{(2+o(1))x}{\phi (q)\ln (x/q^{3/8})}$

Este resultado é devido a Y. Motohashi (1973). Ele usou uma estrutura bilinear no termo do erro no crivo de Selberg, descoberto pelo próprio. Posteriormente esta ideia de explorar estruturas nos erros de crivagem tournou-se um grande método dentro da teoria analítica dos números, devido à extensão feira por H. Iwaniec para o crivo combinatório.

Comparação com o teorema de Dirichlet

Por contraste, o Teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas dá um resultado assintótico, que pode ser expressado por

$\pi (x;q,a)=\frac{x}{\phi (q)\log (x)}\left(1+O\left(\frac{1}{\log x}\right)\right)$

mas só se pode provar que isso vale para o intervalo mais restrito q < (log x)^c para c constante: isto é o teorema de Siegel–Walfisz.

Referências

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