Teorema de Erdős–Wintner

Predefinição:Mais notas O Teorema de Erdős–Wintner é um teorema da Teoria Probabilística dos Números assim nomeado por ter sido provado por Paul Erdős e Aurel Wintner.

Teoria

Sejam x e y tais que $2\le x\le y.$   A notação

$v_{x,y}(n;f(n)<=z)$          $(1)$

é a frequencia entre os inteiros n no intervalo semi-aberto $]x-y;x]$ daqueles para os quais a função aditiva real $f(n)$ não exceda z.

Seja $c>1$ e $N_j$ uma sequência crescente de inteiros positivos para os quais $N_{j+1}\le N_j^c$.

Seja $M_j$ uma outra sequência de números inteiros, $M_j<=N_j$, $\log M_j/\log N_j\to 1$,   já que $j\to \mathrm{\infty }$.

Na ordem que as frequências

$v_{N_j,M_j}(n;f(n)\le z)$          $(2)$

convergem fracamente, como $j\to \mathrm{\infty }$, é necessário e suficiente que as três séries

$\sum _{|f(p)|>1}\frac{1}{p},\sum _{|f(p)|\le 1}\frac{f(p)}{p},\sum _{|f(p)|\le 1}\frac{f(p{)}^2}{p}$          $(3)$

convirjam.

Resultados

Quando $N_j=j$ e $M_j=j$, este é o Teorema de Erdős–Wintner. Para $N_j=j$ e algum $M_j$ que satisfaça $M_j/N_j\to 0$, em conjunto com a condição acima $\log M_j\sim \log N_j$ foi provada por A. J. Hildebrand.