Teorema de Niven

Em matemática, o teorema de Niven (Predefinição:Lang-en), denominado em memória de Ivan Morton Niven, estabelece que somente valores racionais de θ no intervalo 0 ≤ θ ≤ 90 para o qual o seno de θ graus é também um número racional são:

$\begin{array}{cc}\mathrm{sen}\left(0^{\circ }\right)& =0,\\ \mathrm{sen}\left(30^{\circ }\right)& =\frac{1}{2},\\ \mathrm{sen}\left(90^{\circ }\right)& =1.\end{array}$

Em radianos, requerendo que $0\le x\le \pi /2$, $x/\pi$ seja racional e $\mathrm{sen}\left(x\right)$ seja racional, a conclusão é então que os únicos valores são $\mathrm{sen}\left(0\right)=0$, $\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$ e $\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$.

O teorema aparece como corolário 3.12 no livro de Niven sobre números irracionais.

O teorema pode ser estendido a outras funções trigonométricas. Para valores racionais de θ, os únicos valores racionais de seno ou cosseno são 0, ±1/2 e ±1; os únicos valores racionais da secante ou cossecante são ±1 e ±2; e os únicos valores racionais da tangente ou cotangente são 0 e ±1.

Ver também

• Triplas pitagóricas formam triângulos retângulos onde as funções trigonométricas tem sempre valores racionais, embora os ângulos agudos não sejam racionais
• Função trigonométrica

Leitura adicional

• Predefinição:Citar periódico
• Predefinição:Citar periódico

Ligações externas

• Predefinição:MathWorld