Teorema de interseção de Cantor

O teorema de interseção de Cantor refere-se a dois teoremas intimamente relacionados em topologia geral e análise real, nomeados em homenagem a Georg Cantor, sobre interseções de sequências aninhadas decrescentes de conjuntos compactos não vazios.

Declaração Topológica

• Teorema

Deixe $S$ ser um espaço topológico. Uma sequência aninhada decrescente de compactos não vazios, subconjuntos fechados de $S$ tem um cruzamento não vazio. Em outras palavras, supondo que $(C_k{)}_{k\ge 0}$ é uma sequência de subconjuntos compactos e fechados não vazios de S satisfazendo

$C_0\supset C_1\supset \cdots \supset C_n\supset C_{n+1}\supset \cdots ,$

segue que

$\bigcap _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k\ne \mathrm{\varnothing }.$

A condição de fechamento pode ser omitida em situações onde cada subconjunto compacto de $S$ está fechado, por exemplo quando $S$ é Hausdorff.

• Prova

Suponha, por meio de contradição, que ${\bigcap }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k=\mathrm{\varnothing }$. Para cada $k$, deixe $U_k=C_0\setminus C_k$. Uma vez que ${\bigcup }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}{U}_k=C_0\setminus {\bigcap }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k$ e ${\bigcap }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k=\mathrm{\varnothing }$, temos ${\bigcup }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}{U}_k=C_0$. Já que $C_k$ estão fechados em relação a $S$ e, portanto, também fechado em relação a $C_0$, the $U_k$, o conjunto deles complementa em $C_0$, estão abertos em relação a $C_0$.

Uma vez que $C_0\subset S$ é compacto e $\{U_k|k\ge 0\}$ é uma capa aberta (on $C_0$) de $C_0$, uma capa finita $\{U_{k_1},U_{k_2},\dots ,U_{k_m}\}$ pode ser extraído. Deixar $M=\underset{1\le i\le m}{\max }{k}_i$. Então ${\bigcup }_{i=1}^m{U}_{k_i}=U_M$ porque $U_1\subset U_2\subset \cdots \subset U_n\subset U_{n+1}\cdots$, pela hipótese de aninhamento para a coleção $(C_k{)}_{k\ge 0}$. Consequentemente, $C_0={\bigcup }_{i=1}^m{U}_{k_i}=U_M$. Mas então $C_M=C_0\setminus U_M=\mathrm{\varnothing }$, uma contradição. ∎

Predefinição:Referências Predefinição:Esboço-matemática