Teoria dos twistores

Predefinição:Teoria quântica de campos Na física teórica, a teoria dos twistores foi originalmente proposta como uma nova estrutura geométrica para a física que visa unificar a relatividade geral e a mecânica quântica. Em termos gerais, a teoria dos twistores é uma estrutura para codificar informações físicas no espaço-tempo como dados geométricos em um espaço projetivo complexo, conhecido como espaço twistor. Ela foi proposta por Roger Penrose em 1967 como um caminho possível para a gravidade quântica e evoluiu para um ramo da física teórica e matemática.

Penrose propôs que o espaço twistor deveria ser a arena básica para a física da qual o próprio espaço-tempo deveria emergir. Isso leva a um conjunto de ferramentas matemáticas que têm aplicações em geometria diferencial e integral, equações diferenciais não lineares e teoria da representação e em física para relatividade geral e teoria quântica de campos, em particular para amplitudes de espalhamento.

Correspondência de Twistores

Denote o espaço Minkowski por $M$, com coordenadas $x^a=(t,x,y,z)$ e métrica Lorentziana ${\eta }_{ab}$ signature $(1,3)$. Introduza índices de espinor de 2 componentes $A=0,1;A^{\prime }=0^{\prime },1^{\prime },$ e defina

$x^{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}t-z& x+iy\\ x-iy& t+z\end{array}\right).$

O espaço twistor não projetivo $𝕋$ é um espaço vetorial complexo quadridimensional com coordenadas denotadas por $Z^{\alpha }=({\omega }^A,{\pi }_{A^{\prime }})$ onde ${\omega }^A$ e ${\pi }_{A^{\prime }}$ são dois espinores de Weyl constantes. A forma hermitiana pode ser expressa definindo uma conjugação complexa de $𝕋$ para seu dual ${𝕋}^{*}$ by ${\overline{Z}}_{\alpha }=({\overline{\pi }}_A,{\overline{\omega }}^{A^{\prime }})$ de modo que a forma hermitiana pode ser expressa como

$Z^{\alpha }{\overline{Z}}_{\alpha }={\omega }^A{\overline{\pi }}_A+{\overline{\omega }}^{A^{\prime }}{\pi }_{A^{\prime }}.$

Isso junto com a forma de volume holomórfico, ${\epsilon }_{\alpha \beta \gamma \delta }{Z}^{\alpha }d{Z}^{\beta }\wedge d{Z}^{\gamma }\wedge d{Z}^{\delta }$ é invariante sob o grupo SU (2,2), uma cobertura quádrupla do grupo conformado C (1,3) do espaço-tempo de Minkowski compactado.

Os pontos no espaço de Minkowski estão relacionados a subespaços do espaço de twistores por meio da relação de incidência

${\omega }^A=i{x}^{A{A}^{\prime }}{\pi }_{A^{\prime }}.$

A relação de incidência é preservada sob um redimensionamento geral do twistor, então geralmente trabalha-se no espaço do twistor projetivo $\mathbb{P}𝕋,$ que é isomórfico como uma variedade complexa para ${ℂ\mathbb{P}}^3$. Um ponto $x\in M$assim, determina uma linha ${ℂ\mathbb{P}}^1$no $\mathbb{P}𝕋$ parametrizado por ${\pi }_{A^{\prime }}.$ Um twistor $Z^{\alpha }$ é mais fácil de entender no espaço-tempo para valores complexos das coordenadas, onde define um plano duplo totalmente nulo que é autodual. Seja $x$ real, então se$Z^{\alpha }{\overline{Z}}_{\alpha }$ desaparece, então $x$ encontra-se em um raio de luz, enquanto se $Z^{\alpha }{\overline{Z}}_{\alpha }$ não desaparece, não há soluções e, de fato, $Z^{\alpha }$ corresponde a uma partícula sem massa com spin que não está localizada no espaço-tempo real.

Supertwistores

Supertwistores são uma extensão supersimétrica de twistors introduzida por Alan Ferber em 1978. O espaço do twistor não projetivo é estendido por coordenadas fermiônicas onde $𝒩$ é o número de supersimetrias de modo que um twistor agora é dado por $({\omega }^A,{\pi }_{A^{\prime }},{\eta }^i),i=1,\dots ,𝒩$ com ${\eta }^i$ anticommutação. O grupo superconformal $SU(2,2|𝒩)$ age naturalmente neste espaço e uma versão supersimétrica da transformada de Penrose leva classes de cohomologia no espaço do supertwistor para multipletos supersimétricos sem massa no super espaço de Minkowski. O caso $𝒩=4$ fornece a meta de corda twistor original de Penrose e o caso $𝒩=8$ é aquele para a generalização da supergravidade de Skinner.Predefinição:Referências

Leitura adicional

• Atiyah, M., Dunajski, M., and Mason, L. J. (2017). "Twistor theory at fifty: from contour integrals to twistor strings". Proc. R. Soc. A. 473 (2206): 20170530. doi:10.1098/rspa.2017.0530. ISSN 1364-5021.
• Baird, P., "An Introduction to Twistors."
• Huggett, S. and Tod, K. P. (1994). An Introduction to Twistor Theory, second edition. Cambridge University Press. Predefinição:ISBN. OCLC 831625586.
• Hughston, L. P. (1979) Twistors and Particles. Springer Lecture Notes in Physics 97, Springer-Verlag. Predefinição:ISBN.
• Hughston, L. P. and Ward, R. S., eds (1979) Advances in Twistor Theory. Pitman. Predefinição:ISBN.
• Mason, L. J. and Hughston, L. P., eds (1990) Further Advances in Twistor Theory, Volume I: The Penrose Transform and its Applications. Pitman Research Notes in Mathematics Series 231, Longman Scientific and Technical. Predefinição:ISBN.
• Mason, L. J., Hughston, L. P., and Kobak, P. K., eds (1995) Further Advances in Twistor Theory, Volume II: Integrable Systems, Conformal Geometry, and Gravitation. Pitman Research Notes in Mathematics Series 232, Longman Scientific and Technical. Predefinição:ISBN.
• Mason, L. J., Hughston, L. P., Kobak, P. K., and Pulverer, K., eds (2001) Further Advances in Twistor Theory, Volume III: Curved Twistor Spaces. Research Notes in Mathematics 424, Chapman and Hall/CRC. Predefinição:ISBN.
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• Penrose, Roger (1999) "The Central Programme of Twistor Theory," Chaos, Solitons and Fractals 10: 581–611.
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