Transformada binomial

Em matemática, no campo da combinatória, a transformada binomial é uma seqüência de transformações, ou seja, uma transformação de uma seqüência, que obtém-se calculando suas diferenças anteriores. Está relacionada com a transformada de Euler, que é o resultado de aplicar a transformada binomial à seqüência associada com a função geratriz ordinária. Às vezes, um caso especial de transformada de Euler é utilizado para acelerar a soma de séries alternadas. Outro caso especial aplica-se à série hipergeométrica.

Definição

A transformada binomial, T, de uma seqüência, $\{a_n\}$, é a seqüência $\{s_n\}$ definida como

$s_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a_k$

Formalmente, a transformação escreve-se como $(Ta{)}_n=s_n$ , onde T é um operador de dimensão infinita com uma matriz de elementos $T_{nk}$:

$s_n=(Ta{)}_n=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_{nk}{a}_k$

A transformada é uma involução, ou seja,

$TT=1$

ou, em notação indexada,

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_{nk}{T}_{km}={\delta }_{nm}$

sendo δ a função delta de Kronecker. Pode-se recuperar a série original com

$a_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})s_k$

A transformada binomial de uma seqüência é a n-ésima diferença anterior da seqüência, igual a

$s_0=a_0$

$s_1=-(\mathrm{△}a{)}_0=-a_1+a_0$

$s_2=({\mathrm{△}}^{2}a{)}_0=-(-a_2+a_1)+(-a_1+a_0)=a_2-2a_1+a_0$

. . .

$s_n=(-1{)}^n({\mathrm{△}}^{n}a{)}_0$

onde Δ é o operador de diferença anterior.

Alguns autores definem a transformada binomial com um sinal adicional, de maneira que não seja inversa consigo mesma:

$t_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a_k$

cuja inversa é

$a_n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})t_k$

Transformada de Euler

Predefinição:Revisão A relação entre as funções de geração ordinárias é às vezes chamada a transformada de Euler. Existem dois tipos. Em uma de suas formas, é utilizada para acelerar a convergência de uma série alternada. É dizer que uma tem a seguinte identidada

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{{\mathrm{\Delta }}^n{a}_0}{2^{n+1}}$

que obtém-se substituindo x=1/2 na expressão anterior. No geral os termos do lado direito da igualdade, reduzem-se de forma muito mais rápida, permitindo desta maneira uma soma numérica rápida.

Também é freqüente a aplicação da transformada de Euler à série hipergeométrica ${}_2{F}_1$. Neste caso, a transformada de Euler toma a siguinte forma:

${}_2{F}_1(a,b;c;z)=(1-z{)}^{-b}{}_2{F}_1(c-a,b;c;\frac{z}{z-1})$

A transformada binomial, e sua variação à transformada de Euler, destacam-se por sua conexão com a representação de um número mediante fração contínua. Seja $0<x<1$ tal que sua representação em fração contínua é

$x=[0;a_1,a_2,a_3,\cdots ]$

então

$\frac{x}{1-x}=[0;a_1-1,a_2,a_3,\cdots ]$

e

$\frac{x}{1+x}=[0;a_1+1,a_2,a_3,\cdots ]$

Ver também

• Operador de diferença

Referências

• Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
• Helmut Prodinger, Some information about the Binomial transform, (1992)
• Michael Z. Spivey and Laura L. Steil, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform, (2006)