Transformada fracional de Fourier

Em matemática a transformada fracional de Fourier (FRFT, do inglês fractional Fourier transform) é uma transformada integral que pode ser considerada uma generalização da transformada de Fourier multidimensional, baseada nas conhecidas propriedades de "rotação" desta última. Em notação de operadores, para maior concisão, pode-se escrever

${ℱ}_n\cdot {ℱ}_n\{f(t)\}=f(-t)e{ℱ}_n\cdot {ℱ}_n\cdot {ℱ}_n\cdot {ℱ}_n\{f(t)\}=f(t)(1a)$

onde ${ℱ}_n$ denota a transformada de Fourier de dimensão n, onde n é um inteiro. Em duas dimensões, as equações acima possuem uma interpretação geométrica simples: a aplicação da transformada de Fourier (bidimensional) duas vezes consecutivas equivale a uma rotação de 180°. Tal interpretação permite afirmar que a aplicação da transformada de Fourier equivale a uma rotação de 90° e, além disso, permite generalizar a transformação de forma a obter-se uma rotação por um ângulo qualquer.

A transformada fracional de Fourier em uma dimensão é denotada por ${ℱ}^a$, onde a é um número real. Para a = 1, a FRFT se reduz à transformada de Fourier usual; para valores inteiros maiores que 1, ela equivale à aplicação sucessiva da transformada de Fourier; para a = 0, ela equivale a uma identidade; para a = -1, ela equivale à transformada de Fourier inversa, e assim por diante. A transformada será uma função não apenas da variável ω, mas também de a.

A transformação fracional não é apenas um artifício matemático. Existem situações, em Óptica, por exemplo, em que uma transformação fracional corresponde exatamente ao processo físico (ver exemplo abaixo). Uma propriedade notável da transformação é que a passagem do domínio do tempo ao domínio da frequência deixa de ser abrupta e passa a ser gradual.

A FRFT foi proposta por Victor Namias em 1980, sofreu aperfeiçoamentos durante a década e cresceu em popularidade a partir de 1990. A ideia parece ter ocorrido primeiro a Norbert Wiener, em 1929. Entre as aplicações bem sucedidas até o momento, contam-se a solução da equação de Schroedinger e de outras equações diferenciais de segunda ordem, além de problemas selecionados em Óptica e em Análise de sinais. A transformada fracional de Fourier pode também ser relacionada com a distribuição de Wigner, uma ferramenta importante na análise de sinais não-estacionários.

Uma versão discreta também foi definida, para uso em processamento digital, a transformada fracional discreta de Fourier.

Definições

Transformada unidimensional

A transformada fracional de Fourier em uma dimensão é definida pela equação

${ℱ}^a\{f(t)\}=F(a,\omega )=e^{\frac{\pi }{4}(1-a)}\cdot \csc \left(\frac{a\pi }{2}\right)\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\cdot e^{-i\csc \left(\frac{a\pi }{2}\right)\cdot [\omega t-\frac{t^2+{\omega }^2}{2}\cdot \cos \left(\frac{a\pi }{2}\right)]}dt|a\in ℛ,0\le a\le 1(2a)$

É possível escrever uma expressão válida para qualquer a, mas é mais simples usar (2a) e aplicar as propriedades da FRFT para obter F(a, ω) para tais valores. Também é possível usar a forma alternativa da transformada, na variável angular α

${ℱ}^{\alpha }\{f(t)\}=F(\alpha ,\omega )=e^{(\frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2})}\cdot \csc (\alpha )\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\cdot e^{-i\csc (\alpha )\cdot [\omega t-\frac{t^2+{\omega }^2}{2}\cdot \cos (\alpha )]}dt|\alpha \in ℛ,0\le \alpha \le \frac{\pi }{2}(2b)$

A transformada inversa é obtida através das mesmas expressões, com a troca do sinal do parâmetro (a ou α) e a troca das variáveis t e ω uma pela outra (ver exemplo).

Condições de existência

Uma condição suficiente, mas não necessária, para que uma função f(t) possua transformada fracional de Fourier é que ela e suas derivadas sejam limitadas de acordo com

$|t^m\cdot f^n(t)|<A|n,m\in 𝒵,n,m\ge 0\wedge A\in ℛ(1b)$

Propriedades

Compatibilidade com a transformada de Fourier

${\frac{}{}{ℱ}^a|}_{a=1}=ℱ\wedge {\frac{}{}{ℱ}^a|}_{a=-1}={ℱ}^{-1}(3a)$

Aditividade

${ℱ}^a\cdot {ℱ}^b={ℱ}^{a+b}(3b)$

Comutatividade

${ℱ}^a\cdot {ℱ}^b={ℱ}^b\cdot {ℱ}^a(3c)$

Nulipotência

${\frac{}{}{ℱ}^a|}_{a=0}=ℐ(3d)$

Deslocamento dos eixos

${ℱ}^a\{f(t-b)\}=e^{-ib\sin \left(\frac{a\pi }{2}\right)[\omega -\frac{b}{2}\cos \left(\frac{a\pi }{2}\right)]}\cdot F(a,\omega -b\cos \left(\frac{a\pi }{2}\right))(3e)$

${ℱ}^a\{e^{-ibt}\cdot f(t)\}=e^{-ib\cos \left(\frac{a\pi }{2}\right)[\omega -\frac{b}{2}\sin \left(\frac{a\pi }{2}\right)]}\cdot F(a,\omega -b\sin \left(\frac{a\pi }{2}\right))(3f)$

Derivadas

Para n inteiro positivo

${ℱ}^a\{\frac{d^n}{d{t}^n}f(t)\}={[i\omega \cdot \sin \left(\frac{a\pi }{2}\right)+\cos \left(\frac{a\pi }{2}\right)\cdot \frac{d}{d\omega }]}^{n}F(a,\omega )(3g)$

${ℱ}^a\{t^n\cdot f(t)\}=-{[\omega \cdot \cos \left(\frac{a\pi }{2}\right)+i\sin \left(\frac{a\pi }{2}\right)\cdot \frac{d}{d\omega }]}^{n}F(a,\omega )(3h)$

${ℱ}^a\{x\cdot \frac{d^n}{d{t}^n}f(t)\}=-{([\sin \left(\frac{a\pi }{2}\right)+i{\omega }^2\cdot \cos \left(\frac{a\pi }{2}\right)]\cdot \sin \left(\frac{a\pi }{2}\right)+\omega \cdot \cos (a\pi )\cdot \frac{d}{d\omega }+\frac{i}{2}\sin (a\pi )\cdot \frac{d^2}{d{\omega }^2})}^{n}F(a,\omega )(3i)$

Convolução

${ℱ}^a\{f(t){*}^{a}g(t)\}=e^{-i\frac{t^2}{2}\cdot \cot \left(\frac{a\pi }{2}\right)}\cdot F(a,\omega )\cdot G(a,\omega )(3j)$

onde *^a denota a convolução fracionária.

Interpretação física

A difração de uma onda plana por um orifício produz uma imagem relacionada à transformada de Fourier da onda original.

O fenômeno da difração de Fraunhofer propicia uma interpretação direta da transformada fracional de Fourier. Uma onda plana de luz que atravessa um orifício e em seguida é focalizada por uma lente convergente comum produz uma imagem G(ω,η), em um plano situado a uma distância f, onde f é a distância focal da lente, que é a transformada de Fourier (bidimensional) da imagem original g(x,y). Algumas situações que podem ser exploradas são as seguintes:

• Se um anteparo é colocado a uma distância menor que f, a imagem nele formada será a transformada fracional de Fourier, com a = ½;
• Se a lente única é substituída por um conjunto de lentes com diferentes distâncias focais, a transformada fracional de Fourier pode ser usada para descrever a ação separada de cada uma delas, um valor diferente de a caracterizando cada lente, e também a do conjunto;
• Se a lente única for construída com um material cujo índice de refração diminui com a distância, a transformada fracional de Fourier pode ser usada para descrever a onda resultante em cada ponto no interior da mesma, sendo a lente caracterizada por um determinado valor de a.

Exemplos de aplicação

Solução de equação diferencial

A FRFT possui, sobre a transformada de Fourier, a vantagem do parâmetro a ou α adicional, que pode ser escolhido de forma a ajustar a transformação a um dado problema. Seja a equação não-linear de segunda ordem

$\frac{d^2}{d{t}^2}f(t)+b{t}^2\cdot f(t)=0$

Aplicando a transformada fracional de Fourier na variável α, de acordo com as propriedades (3g) e (3h), teremos

$[([{\cos }^2(\alpha )-b{\sin }^2(\alpha )]\cdot \frac{d^2}{d{\omega }^2})F(\alpha ,\omega )]+[(i[1+b]\cdot \omega \cdot \sin (2\alpha )\cdot \frac{d}{d\omega })F(\alpha ,\omega )]+$

$[({\omega }^2\cdot [b{\cos }^2(\alpha )-{\sin }^2(\alpha )]-i\frac{1+b}{2}\cdot \sin (2\alpha ))\cdot F(\alpha ,\omega )]=0$

Escolhendo $\alpha =\arctan \left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)$ de forma a eliminar o primeiro termo, teremos b = cot²(α) e, simplificando, teremos

$(i[1+{\cot }^2(\alpha )]\cdot \omega \cdot \sin (2\alpha )\cdot \frac{d}{d\omega })F(b,\omega )=-({\omega }^2\cdot [{\cot }^2(\alpha ){\cos }^2(\alpha )-{\sin }^2(\alpha )]-i\frac{1+{\cot }^2(\alpha )}{2}\cdot \sin (2\alpha ))\cdot F(b,\omega )$

$(i{\csc }^2(\alpha )\cdot \omega \cdot \sin (2\alpha )\cdot \frac{d}{d\omega })F(b,\omega )=-({\omega }^2\cdot \frac{{\cos }^4(\alpha )-{\sin }^4(\alpha )}{{\sin }^2(\alpha )}-i\frac{{\csc }^2(\alpha )}{2}\cdot \sin (2\alpha ))\cdot F(b,\omega )$

$(i2\omega \cdot \cot (\alpha )\cdot \frac{d}{d\omega })F(b,\omega )=-({\omega }^2\cdot \frac{{\cos }^2(\alpha )-{\sin }^2(\alpha )}{{\sin }^2(\alpha )}-i\cot (\alpha ))\cdot F(b,\omega )$

$i2\sqrt{b}\omega \cdot \frac{dF(b,\omega )}{d\omega }=-({\omega }^2\cdot [b-1]-i\sqrt{b})\cdot F(b,\omega )$

Separando variáveis e integrando, teremos

$\frac{dF(b,\omega )}{F(b,\omega )}=-\frac{{\omega }^2\cdot [b-1]-i\sqrt{b}}{i2\sqrt{b}\omega }d\omega =[\frac{i\omega \cdot [b^2-1]}{2\sqrt{b}}+\frac{1}{2\omega }]d\omega$

$\ln (F(b,\omega ))=\frac{i{\omega }^2\cdot [b-1]}{4\sqrt{b}}+\frac{\ln (\omega )}{2}+A_1$

onde A₁ é uma constante. Assim

$F(b,\omega )=A_2\sqrt{\omega }\cdot e^{\frac{i{\omega }^2\cdot [b-1]}{4\sqrt{b}}}$

$F(\alpha ,\omega )=A_2\sqrt{\omega }\cdot e^{\frac{i{\omega }^2\cdot [{\cot }^2(\alpha )-1]}{4\cot (\alpha )}}$

onde A₂ é uma constante. Aplicando a transformação inversa

$f(t)={ℱ}^{-\alpha }\{F(\alpha ,\omega )\}=e^{(\frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2})}\cdot \csc (-\alpha )\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{A}_2\sqrt{\omega }\cdot e^{\frac{i{\omega }^2\cdot [{\cot }^2(\alpha )-1]}{4\cot (\alpha )}}\cdot e^{-i\csc (-\alpha )\cdot [t\omega -\frac{{\omega }^2+t^2}{2}\cdot \cos (-\alpha )]}d\omega |\alpha =\arctan \left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)$

$f(t)=A_3{e}^{-\frac{i{t}^2\cot (\alpha )}{2}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sqrt{\omega }\cdot e^{\frac{i{\omega }^2\cdot \cot (\alpha )}{4}-\frac{i{\omega }^2\cdot \tan (\alpha )}{4}+it\omega \sqrt{{\csc }^2(\alpha )}-\frac{i{\omega }^2\cot (\alpha )}{2}}d\omega |\alpha =\arctan \left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)$

$f(t)=A_3{e}^{-\frac{i{t}^2\cot (\alpha )}{2}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sqrt{\omega }\cdot e^{-\frac{i{\omega }^2\cdot \cot (\alpha )}{4}-\frac{i{\omega }^2\cdot \tan (\alpha )}{4}+it\omega \sqrt{{\cot }^2(\alpha )+1}}d\omega |\alpha =\arctan \left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)$

$f(t)=A_3{e}^{-\frac{i{t}^2\cdot \sqrt{b}}{2}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sqrt{\omega }\cdot e^{-\frac{i{\omega }^2\cdot \sqrt{b}}{4}-\frac{i{\omega }^2}{4\sqrt{b}}+it\omega \sqrt{b+1}}d\omega$

onde A₃ é uma outra constante. Simplificando, obtém-se

$f(t)=A_3{e}^{-\frac{i{t}^2\cdot \sqrt{b}}{2}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sqrt{\omega }\cdot e^{-\frac{i{\omega }^2\cdot b}{4\sqrt{b}}-\frac{i{\omega }^2}{4\sqrt{b}}}\cdot e^{it\omega \sqrt{b+1}}d\omega$

$f(t)=A_3{e}^{-\frac{i{t}^2\cdot \sqrt{b}}{2}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sqrt{\omega }\cdot e^{-\frac{i{\omega }^2(b+1)}{4\sqrt{b}}}\cdot [\cos (t\omega \sqrt{b+1})+i\sin (t\omega \sqrt{b+1})]d\omega$

$f(t)=A_3{e}^{-\frac{i{t}^2\cdot \sqrt{b}}{2}}[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sqrt{\omega }\cdot e^{-\frac{i{\omega }^2(b+1)}{4\sqrt{b}}}\cdot \cos (t\omega \sqrt{b+1})d\omega +i\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sqrt{\omega }\cdot e^{-\frac{i{\omega }^2(b+1)}{4\sqrt{b}}}\cdot \sin (t\omega \sqrt{b+1})d\omega ]$

Devido ao fato de a função cos(x) ser par e sin(x), ímpar, temos

$f(t)=A_3{e}^{-\frac{i{t}^2\cdot \sqrt{b}}{2}}[2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sqrt{\omega }\cdot e^{-\frac{i{\omega }^2(b+1)}{4\sqrt{b}}}\cdot \cos (t\omega \sqrt{b+1})d\omega +0]$

porque as funções x^½ e e² também são pares. Com uma substituição de variáveis

$f(t)=2A_4{e}^{-\frac{i{t}^2\cdot \sqrt{b}}{2}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}w\cdot (b+1{)}^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{-\frac{i{w}^4}{4\sqrt{b}}}\cdot \cos (t{w}^2)\cdot (b+1{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 2wdw|w=\sqrt{\omega \sqrt{b+1}}$

$f(t)=A_5{e}^{-\frac{i{t}^2\cdot \sqrt{b}}{2}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{w}^2\cdot e^{-\frac{i{w}^4}{4\sqrt{b}}}\cdot \cos (t{w}^2)dw$

Ver também

• Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier

Ligações externas

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