Transformada real de Fourier

Em matemática, a transformada real de Fourier é uma transformada integral derivada da transformada de Fourier, que apresenta a vantagem de evitar a necessidade de se trabalhar com números complexos no cálculo.

Definição

A transformada real de Fourier R(ν) de uma função f(t) é definida pelas expressões

$R(\nu )=ℛf(t)\}=2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\cdot \cos (2\pi \nu t+\theta (\nu ))dt(1a)$

$\theta (\nu )=\{\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& :& \nu <0\\ 0& :& \nu \ge 0\end{array}(1b)$

A transformada inversa é dada por

$f(t)={ℛ}^{-1}\{R(\nu )\}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}R(\nu )\cdot \cos (2\pi \nu t+\theta (\nu ))d\nu (2a)$

Uma expressão alternativa para (2a) é

$f(t)={ℛ}^{-1}\{R(\nu )\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[R_i(\nu )\cdot \sin (2\pi \nu t)+R_p(\nu )\cdot \cos (2\pi \nu t)]d\nu (2b)$

com R_i(ν) e R_p(ν) sendo, respectivamente, as componentes ímpar e par de R(ν), dadas pelas equações seguintes:

$R_i(\nu )=2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\cdot \sin (2\pi \nu t)dt(1c)$

$R_p(\nu )=2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\cdot \cos (2\pi \nu t)dt(1d)$

R_i(ν) e R_p(ν) possuem a propriedade interessante

$R(\nu )=\{\begin{array}{ccc}{R}_i(\nu )& :& \nu <0\\ R_p(\nu )& :& \nu \ge 0\end{array}(3a)$

Condições de existência

Para que a transformada real de Fourier de uma função f(t) exista, é necessário que:

• f(t) seja uma função real de valores reais
• f(t) seja um sinal de energia finita

Ver também

• Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier
• Transformada de Hartley

Predefinição:Referências