Vórtice de Kerr–Dold

Em dinâmica de fluidos, vórtice de Kerr–Dold é uma solução exata das equações de Navier-Stokes, a qual representa vórtices periódicos constantes sobrepostos ao fluxo do ponto de estagnação (ou fluxo extensional). A solução foi descoberta por Oliver S. Kerr e John W. Dold in 1994. Essas soluções estáveis existem como resultado de um equilíbrio entre o estiramento do vórtice pelo fluxo extensional e a dissipação viscosa, que são semelhantes ao vórtice de Burgers. Esses vórtices foram observados experimentalmente em um moinho de quatro rolos por Lagnado e L. Gary Leal.

Descrição matemática

O fluxo do ponto de estagnação, que já é uma solução exata da equação de Navier-Stokes, é dado por $𝐔=(0,-Ay,Az)$, onde $A$ é a taxa de deformação. A este fluxo, uma perturbação periódica adicional pode ser adicionada de modo que o novo campo de velocidade possa ser escrito como

$𝐮=\left[\begin{array}{c}0\\ -Ay\\ Az\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}u(x,y)\\ v(x,y)\\ 0\end{array}\right]$

onde a perturbação $u(x,y)$ e $v(x,y)$ são consideradas periódicas na direção $x$ com um número de onda fundamental $k$. Kerr e Dold mostraram que tais perturbações existem com amplitude finita, tornando a solução exata para as equações de Navier-Stokes. Introduzindo uma função de fluxo $\psi$ para os componentes da velocidade de perturbação, as equações para perturbações na formulação da função de fluxo de vorticidade podem ser reduzidas a

$\begin{array}{cc}\omega & =-(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2})\psi \\ \frac{\partial \psi }{\partial y}\frac{\partial \omega }{\partial x}-\frac{\partial \psi }{\partial x}\frac{\partial \omega }{\partial y}& -Ay\frac{\partial \omega }{\partial y}-A\omega =\nu (\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2})\omega \end{array}$

onde $\omega$ é a vorticidade da perturbação. Um único parâmetro

$\lambda =\frac{A}{\nu k^2}$

pode ser obtido após adimensionalização, que mede a força do fluxo convergente para a dissipação viscosa. A solução será assumida como

$\psi =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[a_k(y)+i{b}_k(y)]e^{-ikx}.$

Desde que $\psi$ é real, é fácil verificar que $a_k=a_{-k},b_k=-b_{-k},b_0=0.$ Dado que a estrutura de vórtice esperada tem simetria $\psi (x,y)=\psi (-x,-y),\psi (x,y)=-\psi (\pi -x,y)$, temos $a_0=b_1=0$. Após a substituição, será obtida uma sequência infinita de equações diferenciais que são acopladas de forma não linear. Para derivar as seguintes equações, regra do produto de Cauchy será usada. As equações são

$\begin{array}{cc}& {a_k}^{⁗}+Ay{a_k}^{‴}+(A-2k^2){a_k}^{″}-k^{2}Ay{a_k}^{\prime }-k^{2}A{a}_k+k^4{a}_k\\ & +i[{b_k}^{⁗}+Ay{b_k}^{‴}+(A-2k^2){b_k}^{″}-k^{2}Ay{b_k}^{\prime }-k^{2}A{b}_k+k^4{b}_k]\\ =& i\sum _{\ell =-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\{(a_{k^{\prime }-\ell }+i{b}_{k^{\prime }-\ell })[\ell {a_{\ell }}^{″}-{\ell }^3{a}_{\ell }+i(\ell {b_{\ell }}^{″}-{\ell }^3{b}_{\ell })]-(k-\ell )(a_{k-\ell }+i{b}_{k-\ell })[{a_{\ell }}^{‴}-{\ell }^2{a_{\ell }}^{\prime }+i({b_{\ell }}^{‴}-{\ell }^2{b_{\ell }}^{\prime })]\}.\end{array}$

As condições de contorno

${a_k}^{\prime }(0)=b_k(0)=a_k(\mathrm{\infty })=b_k(\mathrm{\infty })=0$

e a condição de simetria correspondente é suficiente para resolver o problema. Pode-se mostrar que soluções não triviais só existem quando $\lambda >1.$ Ao resolver esta equação numericamente, verifica-se que manter os primeiros 7 a 8 termos é suficiente para produzir resultados precisos. A solução quando $\lambda =1$ é $\psi =\cos x$ foi também descoberta por Craik e Criminale em 1986.