Álgebra de Kac-Moody

Predefinição:Ver desambig Predefinição:Teoria das cordas A álgebra de Kac-Moody, nomeada em honra de Victor Kac e Robert Moody, (também conhecida como álgebra de Kac-Moody Lie) é definida da seguinte forma.

Dado,

1) Uma n×n matriz generalizada de Cartan Predefinição:Nowrap de classificação r.

2) Um vetor de espaço $𝔥$ sobre os números complexos de dimensão 2n − r

3) Um conjunto de n elementos linearmente independentes ${\alpha }_i^{\vee }$ de $𝔥$e um conjunto de n elementos linearmente independentes ${\alpha }_i$ do espaço dual ${𝔥}^{*}$, de tal modo que ${\alpha }_i({\alpha }_j^{\vee })=c_{ji}$. Os ${\alpha }_i$ são analógicos para as raízes simples de uma semi-simples álgebra de Lie, e os ${\alpha }_i^{\vee }$ para as co-raízes simples.

A álgebra de Kac-Moody é a álgebra de Lie $𝔤$ definida por geradores $e_i$ e $f_i$ ($i\in \{1,\dots ,n\}$) e os elementos de $𝔥$e as relações.

• $[h,h^{\prime }]=0$ para $h,h^{\prime }\in 𝔥$;
• $[h,e_i]={\alpha }_i(h)e_i$, para $h\in 𝔥$;
• $[h,f_i]=-{\alpha }_i(h)f_i$, para $h\in 𝔥$;
• $[e_i,f_j]={\delta }_{ij}{\alpha }_i^{\vee }$, onde ${\delta }_{ij}$ é o delta de Kronecker
• $\text{ad}(e_i{)}^{1-c_{ij}}(e_j)=0$ e $\text{ad}(f_i{)}^{1-c_{ij}}(f_j)=0$, onde $\text{ad}:𝔤\to \text{End}(𝔤),\text{ad}(x)(y)=[x,y],$ é a representação adjunta de $𝔤$.

A álgebra de Lie real (possivelmente de dimensão infinita) é também considerada uma álgebra de Kac-Moody, se a sua complexificação é uma álgebra de Kac-Moody .