Cardioide

Cardioide gerado pela rolagem de um círculo sobre outro círculo de mesmo raio.

Em geometria, o cardioide é um epicicloide que possui somente uma ponta. Isto é, um cardioide é uma curva que pode ser produzida como um locus — traçando-se o caminho de um dado ponto de um círculo, que rola sem cair ao redor de um outro círculo, que é fixo mas que tem o mesmo raio do círculo rolante.

O cardioide é também um tipo especial de limaçon: é o limaçon de uma ponta. (A ponta é formada quando o raio de a até b na equação é igual a um).

Um cardioide é uma curva matemática cuja forma se assemelha à de um coração. Por este motivo, recebe o nome derivado do grego kardioeides = kardia:coração + eidos:forma.

Comparado ao símbolo ♥ entretanto, um cardioide não termina em uma ponta fina. Ele tem mais a forma do contorno da seção em cruz de uma ameixa.

O cardioide é um transformador inverso de uma parábola.

A grande figura preta central em um conjunto Mandelbrot é um cardioide. Este cardioide é cercado por uma arranjo fractal de círculos.

Equações do cardioide

Uma vez que o cardioide é uma epiciclóide com uma ponta, as equações paramétricas do cardioide são:

$x(\theta )=\rho (\theta )\cos \theta =(1+\cos \theta )\cdot \cos \theta =\cos \theta +\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2\theta ,$

$y(\theta )=\rho (\theta )\sin \theta =(1+\cos \theta )\cdot \sin \theta =\sin \theta +\frac{1}{2}\sin 2\theta .$

A mesma curva pode ser definida em coordenadas polares pela equação:

$\rho (\theta )=1+\cos \theta .$

Gráficos

quatro gráficos dos cardioides orientados nos quatro sentidos cardeais, com suas respectivas equações polares.

Área

A área de um cardioide a que seja cogruente com

$\rho (\theta )=a(1-\cos \theta )$

é

$A=\frac{3}{2}\pi a^2$.

Basta verificar que

$A=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\rho (\theta )}{\int }}rdrd\theta =\frac{3}{2}\pi a^2$

Essa área é facilmente calculada utilizando o Teorema de Green para um campo vetorial cuja circulação seja igual a 1

$\overrightarrow{F}(x,y)=(-\frac{y}{2},\frac{x}{2})$

pois, pelo Teorema

$\underset{C}{\oint }\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}=\underset{C}{\oint }Ldx+Mdy=\underset{R}{\iint }[\frac{\partial }{\partial x}\frac{x}{2}-\frac{\partial }{\partial y}(-\frac{y}{2})]dA=\underset{R}{\iint }dA$

então basta calcular a circulação ao longo da cardioide

$\overrightarrow{P}(\theta )=(r(\theta )\cos \theta ,r(\theta )\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\theta )$)

no campo $\overrightarrow{F}(x,y)$, onde:

• $P_x=r(\theta )\cos \theta$;
• $P_y=r(\theta )\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\theta$;
• $L=-\frac{P_y}{2}$;
• $M=\frac{P_x}{2}$;

$$A=\underset{P}{\oint }\overrightarrow{F}(P_x,P_y)\cdot \overrightarrow{P}{}^{\prime }(\theta )d\theta =\frac{1}{2}\underset{P}{\oint }{P}_{x}dy-P_{y}dx=\frac{1}{2}\underset{P}{\oint }(r^2{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}}^2\theta +r^2{\cos }^2\theta )d\theta =\frac{a^2}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{(1+\cos \theta )}^{2}d\theta$$$$=\frac{a^2}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}(1+2\cos \theta +{\cos }^2\theta )d\theta =\frac{a^2}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}(1+2\cos \theta +\frac{1+\cos 2\theta }{2})d\theta =\frac{a^2}{2}{[\theta +\frac{\theta }{2}]}_0^{2\pi }=\frac{3}{2}{a}^2\pi$$

Ver também

• Wittgenstein's rod
• microphone#Directionality

• Predefinição:Link
• Xah Lee, Cardioid (1998) (This site provides a number of alternative constructions).
• Jan Wassenaar, Cardiod, (2005) in 862 two-dimensional mathematical curves.