Ação de grupo contínua

Uma Predefinição:PU-AO45, em topologia, de um grupo G num espaço topológico X é um homomorfismo de G no grupo dos homeomorfismos de X tal que a correspondente função $G\times X\to X$ é contínua.

Acção de um grupo topológico

Se G é um grupo topológico, uma acção de G sobre um espaço topológico X é uma aplicação contínua $\varphi :G\times X\to X$ tal que:

i)$\varphi (e,x)=x,\mathrm{\forall }x\in X$

ii)$\varphi (g,\varphi (h,x))=\varphi (gh,x),\mathrm{\forall }g,h\in G,\mathrm{\forall }x\in X$

Notação

Algumas notações são empregadas para representar a acção de G sobre X.

• g . x, sendo g elemento de G e x elemento de X
• $\varphi (g)$ como sendo a função $\varphi (g):X\to X$, definida por $\varphi (g)(x)=\varphi (g,x)$ (este tipo de transformação de uma função binária em uma função unária cujo resultado é outra função unária se chama currying).

Órbitas

A órbita de um elemento $x$ de $X$ é a classe de equivalência de $x$, com respeito à relação de equivalência $\sim$ determinada por $x\sim y$ se existir $g\in G$ tal que $y=g(x)$, onde $g(x)$ representa a imagem de $x$ pelo homeomorfismo de $X$ associado a $g$.

Quociente

O quociente de um espaço topológico X por um grupo G, que se representa por X/G, é o conjunto das órbitas, com a topologia quociente.

Exemplos

• A acção $\varphi$ de $\mathbb{Z}$ sobre $ℝ$ definida por $\varphi (n)(x)=x+n$ tem por quociente o círculo ${𝕊}^1$.
• A acção $\varphi$ de $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ sobre $ℝ\times ℝ$ definida por $\varphi (m,n)(x)=(x+m,y+n)$ tem por quociente um toro.