Equação de Torricelli

A Equação de Torricelli é uma equação proposta pelo físico e matemático italiano Evangelista Torricelli. O primeiro registro da equação na literatura remonta aos estudos de Torricelli a respeito do movimento da água. Ao tentar determinar a velocidade de saída de um jato d’agua jorrando de um pequeno orifício de um recipiente, ele notou que a velocidade do fluxo seria igual a velocidade de uma gota em queda livre.

Comumente essa equação aparece nos livros didáticos como uma forma calcular a velocidade final de um corpo em movimento retilíneo uniformemente variado, ou seja, com aceleração constante, sem a necessidade de se conhecer o intervalo de tempo em que este permaneceu em movimento.

A equação tem a forma:

$v^2={v_o}^2+2a\mathrm{\Delta }x$

Onde $v$ representa a velocidade final do corpo, $v_0$ representa a velocidade inicial do corpo, $\mathrm{\Delta }x$ representa o deslocamento e $a$ representa a aceleração.

Deduções

Pela cinemática

Esta equação pode ser deduzida a partir das seguintes equações Predefinição:NumBlk Predefinição:NumBlk

Isolando $t$ na Equação (Predefinição:EquationNote), temos que

$t=\frac{(v-v_o)}{a}$

E substituindo-o na Equação (Predefinição:EquationNote), temos que

$x-x_o=v_o\left(\frac{v-v_o}{a}\right)+\frac{a}{2}{\left(\frac{v-v_o}{a}\right)}^2$

Podemos chamar $x-x_0$ de $\mathrm{\Delta }x$

$\mathrm{\Delta }x=\left(\frac{v{v}_o-v_o^2}{a}\right)+\frac{a}{2}\left(\frac{v^2-2v{v}_o+v_o^2}{a^2}\right)$

$\mathrm{\Delta }x=\frac{v{v}_o-v_o^2}{a}+\frac{v^2-2v{v}_o+v_o^2}{2a}$

$\mathrm{\Delta }x=\frac{2v_o-2v_o^2}{2a}+\frac{v^2-2v{v}_o+v_o^2}{2a}$

$2a\mathrm{\Delta }x=2v{v}_o-2v_o^2+v^2-2v{v}_o+v_o^2$

$2a\mathrm{\Delta }x=-v_o^2+v^2$

E por fim, temos o resultado desejado

$v^2=v_o^2+2a\mathrm{\Delta }x$

Pelo teorema do trabalho-energia

O teorema do trabalho-energia diz que o trabalho produzido por uma força, em um determinado corpo, é igual à variação da energia cinética desse corpo.

$W=\mathrm{\Delta }K$

$F\mathrm{\Delta }x=\frac{m{v}^2}{2}-\frac{m{v_0}^2}{2}$

Pela segunda lei de Newton, sabemos que $F=ma$

$ma\mathrm{\Delta }x=\frac{m{v}^2}{2}-\frac{m{v_0}^2}{2}$

$a\mathrm{\Delta }x=\frac{v^2}{2}-\frac{{v_0}^2}{2}$

$2a\mathrm{\Delta }x=v^2-{v_0}^2$

Desse modo, temos o resultado desejado

$v^2={v_0}^2+2a\mathrm{\Delta }x$

Pelo cálculo diferencial e integral

Por definição, a derivada temporal da velocidade é igual a aceleração do corpo.

$\frac{dv}{dt}=a$

Multiplicando os dois lados da equação pela velocidade.

$v\frac{dv}{dt}=av$

E por definição, a velocidade é a derivada temporal do espaço.

$v\frac{dv}{dt}=a\frac{dx}{dt}$

Multiplicando os dois lados da equação por $dt$.

$vdv=adx$

Resolvendo essa equação diferencial.

$\underset{v_0}{\overset{v}{\int }}{v}^{\prime }d{v}^{\prime }=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}ad{x}^{\prime }$

$\frac{v^2}{2}-\frac{{v_0}^2}{2}=a(x-x_0)$

$v^2-{v_0}^2=2a(x-x_0)$

Chamando $x-x_0$ de $\mathrm{\Delta }x$.

$v^2={v_0}^2+2a\mathrm{\Delta }x$