Teorema da categoria de Baire

Em matemática, sobretudo na análise funcional, o teorema da categoria de Baire ou apenas teorema de Baire fornece condições suficientes para estabelecer que determinado espaço topológico é um espaço de Baire, ou seja, um espaço de segunda categoria em si. Este resultado possui esse nome em homenagem ao matemático René-Louis Baire (1874 - 1932), onde em sua tese intitulada Sur les fonctions de variable réelles ("On the Functions of Real Variables"), trouxe a noção de conjunto magro e o resultado que leva seu nome.

Enunciado

• Na teoria dos espaços métricos completos, o teorema de Baire possui os seguintes enunciados equivalentes:

1. Se $F=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{F}_n$ onde $int(F_n)=\varnothing$, para todo $n\in \mathbb{N}$, então $int(F)=\varnothing$;
2. Todo conjunto magro tem interior vazio;
3. Se $\{A_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$é uma família de conjuntos abertos e densos então $A=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$é denso em M.

• Do ponto de vista topológico, podemos apresentar a seguinte formulação:

1. Todo espaço localmente compacto de Hausdorff não vazio é um espaço de Baire.

Demonstração

Uma das demonstrações deste resultado, que se faz necessária a completude do espaço na qual estamos trabalhando é feita de forma construtiva. Sabendo que as afirmações citadas são equivalentes, apresentaremos a demonstração do item 3):

Seja $\{A_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$uma família de conjuntos abertos e densos de um espaço métrico completo M. Queremos mostrar que dada qualquer bola aberta $B_1$tem-se que $A\cap B_1\ne \varnothing$. Assim, seja $B_1$ uma bola aberta arbitrária, sendo $A_1$aberto e denso temos que$A_1\cap B_1$é aberto e não-vazio, desta forma existe $r>0$tal que $B_r\subset A_1\cap B_1$. Tomando uma bola aberta $B_2$de raio menor que $r$ e menor ou igual a $\frac{1}{2}$, temos que $\overline{B_2}\subset B_r\subset A_1\cap B_1$. Prosseguindo da mesma forma, obtemos uma $B_3$ de raio menor que $\frac{1}{3}$tal que $\overline{B_3}\subset A_2\cap B_2$e portanto para todo $n$, temos que existe $B_{n+1}$tal que $\overline{B_{n+1}}\subset A_n\cap B_n.$

Por construção, obtemos uma sequência decrescente $\overline{B_1}\supset \overline{B_2}\supset ...\supset \overline{B_n}\supset ...$com $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}diam(\overline{B_n})=0$. Sendo $M$ completo, segue do caso geral do Teorema do encaixe de intervalos que $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\overline{B_n}=\{a\}$. Como, $\overline{B_{n+1}}\subset A_n\cap B_n$para todo $n$e $a\in B_1$, segue que $A\cap B_1\ne \varnothing$.

Consequência

Uma consequência direta do teorema de Baire é a seguinte:

• Seja $M$ um espaço métrico completo. Se $M=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{F}_n$ enumerável onde cada $F_n$ é fechado em $M$, então existe pelo menos um $n$, tal que $int{F}_n\ne \varnothing$.

Aplicações

O teorema de Baire é um importante resultado na matemática, principalmente na análise devido ao seu grande número de consequências. Abaixo apresentaremos algumas de suas aplicações:

• A reta real $ℝ$ é não-enumerável.

A demonstração deste fato é bastante simples, e segue abaixo: Suponha que $ℝ$ seja enumerável, então $ℝ=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{r}_n$, isto é, podemos escrever $ℝ$ como sendo a reunião enumerável de seus pontos que são claramente fechados em $ℝ$. Segue então do corolário do teorema de Baire que existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que um dos pontos de $ℝ$ tem interior não-vazio, o que é um absurdo.

• Seja $I=[a,b]$ um intervalo e $C={𝒞}_0(I,ℝ)$ o conjunto das aplicações limitadas $f:I\to ℝ$ com a métrica da convergência uniforme $d(f,g)=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in I}|f(x)-g(x)|$. O conjunto $B=\{f\in C_0(I,ℝ)|fpossuiderivadaemalgumpontodeI\}$ é magro em ${𝒞}_0(I,ℝ)$, ou seja, o conjunto das funções $f\in {𝒞}_0(I,ℝ)$ que não possuem derivada em ponto algum de $I$ contém uma interseção enumerável de abertos densos em ${𝒞}_0(I,ℝ)$. De maneira intuitiva, este resultado garante que existem mais funções contínuas que não possuem derivada em ponto algum de $I$ do que as que possuem.

• Seja $M,N$ espaços métricos e $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ uma sequência de aplicações contínuas tal que $f_n:M\to N$ converge para $f:M\to N$ simplesmente. Se M é completo então o conjunto dos pontos de descontinuidades de $f$ é magro em $M$.

Na análise funcional:

• Teorema do mapeamento aberto
• Teorema do gráfico fechado
• Princípio da limitação uniforme ou Teorema de Banach - Steinhaus

Referências

• LIMA, Elon Lages. Espaços Métricos. Rio de Janeiro. Editora Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2003.