Comprimento do arco

A determinação do comprimento de segmentos de arco irregular — também conhecido como retificação de uma curva — representou uma dificuldade histórica. Embora muitos métodos tenham sido utilizados para curvas específicas, o advento do cálculo levou a uma formulação geral que provê a solução em alguns casos.

Definição precisa

Escolher um finito número de pontos ao longo de uma curva e conectar cada um destes pontos com o próximo com uma linha reta. A soma do comprimento de cada um destes segmentos é o comprimento de um caminho polinomial.

Definição: O comprimento de uma curva é o menor número tal que o comprimento dos caminhos polinomiais nunca pode ultrapassar, não importando quanto juntos sejam colocados os pontos finais do segmentos.

Na linguagem matemática, o comprimento do arco é o supremo de todos comprimentos de um dado caminho polinomial.

Métodos modernos

Considere uma função $f(x)$ tal que $f(x)$ e $f^{\prime }(x)$ (isto é a derivada em relação a x) são contínuas em [a, b] . O comprimento s de parte do gráfico de f entre x = a e x = b é dado pela fórmula:

$s=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx.$

a qual se deriva da fórmula da distância aproximada do comprimento do arco composto de muitos pequenos segmentos de reta. Como o número de segmentos tende para o infinito (pelo uso da integral) esta aproximação se torna um valor exato.

Se a curva é definida parametricamente por $x=X(t)$ e $y=Y(t)$, então o comprimento do arco entre t = a e t = b é

$s=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{[X^{\prime }(t){]}^2+[Y^{\prime }(t){]}^2}dt.$

Deve-se notar que a definição acima só pode ser considerada rigorosa caso se prove que duas parametrizações distintas geram o mesmo comprimento de arco.

Método vetorial

Seja  $a=t_0<t_1<t_2<...<t_n=b$ uma partição equidistante do domínio com $\mathrm{\Delta }t=t_i-t_{i-1}$ e $P_i=\overrightarrow{r}(t_i)$, $i=0,1,...n$, pontos sobre a curva. Uma possível aproximação para o comprimento da curva é dado pelo comprimento da poligonal. Observe que o comprimento do segmento $P_{i-1}{P}_i$ é dado por $||P_i-P_{i-1}||$, logo, a aproximação para o comprimento da curva é

$L_n=\sum _{i=1}^n||P_i-P_{i-1}||$

$=\sum _{i=1}^n\sqrt{(x_i-x_{i-1}{)}^2+(y_i-y_{i-1}{)}^2+(z_i-z_{i-1}{)}^2}$

$={\sum }_{i=1}^n\sqrt{{\left(\frac{x_i-x_{i-1}}{\mathrm{\Delta }t}\right)}^2+{\left(\frac{y_i-y_{i-1}}{\mathrm{\Delta }t}\right)}^2+{\left(\frac{z_i-z_{i-1}}{\mathrm{\Delta }t}\right)}^2}\mathrm{\Delta }t$

Naturalmente, $L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{L}_n$. Como o lado direito da última igualdade é uma soma de Riemann, temos:

$L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{{\left(\frac{dx(t)}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy(t)}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz(t)}{dt}\right)}^2}dt$

$L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}||\overrightarrow{r}\prime (t)||dt$

Logo, o comprimento do arco S quando a parâmetro corre de a até t é:

$S(t)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}||\overrightarrow{r}\prime (\tau )||d\tau ,a\le t\le b$

Ver também

• Comprimento da circunferência

Referências

• Predefinição:Citar livro