Grupo diedral

Em matemática e, em especial, na teoria dos grupos, um grupo diedral é o grupo de simetrias de um polígono regular de $n$ lados qualquer, que se representa quer por $D_n$, quer por $D_{2n}$. Sua presentação é dada por $D_n=⟨x,y:x^n=1,y^2=1,(xy{)}^2=1⟩$ e $D_{\mathrm{\infty }}=⟨x,y:y^2=1,(xy{)}^2=1⟩.$

Grafos de ciclos

$D_1$	$D_2$	$D_3$	$D_4$	$D_5$	$D_6$	$D_7$

Propriedades

• O grupo possui $2n$ elementos: o elemento neutro, $n-1$ rotações próprias e $n$ reflexões.
• Para $n>2,$ o grupo não é abeliano.
• O subgrupo das rotações é isomorfo ao grupo cíclico ${\mathbb{Z}}_n,$ e é um subgrupo normal

Exemplo

As cinco simetrias não triviais do triângulo equilátero.

Seja ABC um triângulo equilátero. Dentre as suas simetrias, temos:

• e: o elemento neutro, ou seja, a transformação identidade que leva cada ponto do triângulo nele mesmo.
• ${\rho }_1$ a rotação que leva A em B, B em C e C em A.
• ${\rho }_2$ a rotação que leva A em C, C em B e B em A.
• ${\sigma }_A$ a simetria em torno da altura que passa por A.
• ${\sigma }_B$ a simetria em torno da altura que passa por B.
• ${\sigma }_C$ a simetria em torno da altura que passa por C.

Não existem outras simetrias. Considerando * como a composição de funções, temos, por exemplo, que ${\sigma }_A*{\rho }_1$ leva A em C, B em B e C em A, ou seja, ${\sigma }_B={\sigma }_A*{\rho }_1.$ Por outro lado, ${\rho }_1*{\sigma }_A={\sigma }_C,$ ou seja, o grupo não é abeliano. Completando as operações, chegamos à tabela:

Grupo de Simetrias do Triângulo Equilátero

$\star$	e	${\rho }_1$	${\rho }_2$	${\sigma }_A$	${\sigma }_B$	${\sigma }_C$
e	e	${\rho }_1$	${\rho }_2$	${\sigma }_A$	${\sigma }_B$	${\sigma }_C$
${\rho }_1$	${\rho }_1$	${\rho }_2$	e	${\sigma }_C$	${\sigma }_A$	${\sigma }_B$
${\rho }_2$	${\rho }_2$	e	${\rho }_1$	${\sigma }_B$	${\sigma }_C$	${\sigma }_A$
${\sigma }_A$	${\sigma }_A$	${\sigma }_B$	${\sigma }_C$	e	${\rho }_1$	${\rho }_2$
${\sigma }_B$	${\sigma }_B$	${\sigma }_C$	${\sigma }_A$	${\rho }_2$	e	${\rho }_1$
${\sigma }_C$	${\sigma }_C$	${\sigma }_A$	${\sigma }_B$	${\rho }_1$	${\rho }_2$	e