Integração numérica

Integração por retângulos.

Integração pelo método de Simpson.

Integração trapezoidal.

Em matemática, em especial na análise numérica, existe uma grande família de algoritmos, cujo principal objetivo é aproximar o valor de uma dada integral definida de uma função sem o uso de uma expressão analítica para a sua primitiva.

Normalmente, estes métodos adotam as seguintes três fases:

• Decomposição do domínio em pedaços (um intervalo contido de sub-intervalos);
• Integração aproximada da função de cada pedaço;
• Soma dos resultados numéricos obtidos.

A necessidade de se usar a integração numérica surge de razões como:

• nem todas as funções admitem uma primitiva de forma explícita (por exemplo, a função erro);
• a primitiva da função é muito complicada para ser avaliada;
• quando não se dipões de uma expressão analítica para o integrando, mas se conhece seus valores em um conjunto de pontos do domínio.

O método básico envolvido nesta aproximação é chamado de quadratura numérica e consiste na seguinte expressão:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\simeq \sum _{i=0}^n{\alpha }_{i}f(x_i)$

onde $\{{\alpha }_i\}$ são coeficientes reais (chamados de pesos da quadratura) e $\{x_i\}$ são pontos de $[a,b]$(chamados de pontos da quadratura) .

Razões para integração numérica

Existem várias razões para realizar a integração numérica, em oposição à integração analítica por encontrar a antiderivada:

1 - O integrando f (x) pode ser conhecido apenas em certos pontos, como obtido por amostragem. Alguns sistemas embarcados e outros aplicativos de computador podem precisar de integração numérica por esse motivo;

2 - Uma fórmula para o integrando pode ser conhecida, mas pode ser difícil ou impossível encontrar uma antiderivada que seja uma função elementar . Um exemplo de tal integrando é f ( x ) = exp (- x ² ), a antiderivada do qual (a função de erro , vezes uma constante) não pode ser escrita na forma elementar;

3 - Pode ser possível encontrar uma antiderivada simbolicamente, mas pode ser mais fácil calcular uma aproximação numérica do que calcular a antiderivada. Esse pode ser o caso se a antiderivada for dada como uma série ou produto infinito, ou se sua avaliação exigir uma função especial que não está disponível.

História

Artigo principal: Quadrature (Mathematics)

Quadratura é um termo matemático histórico que significa calcular área. Os problemas de quadratura têm servido como uma das principais fontes de análise matemática. De acordo com a doutrina pitagórica, matemáticos da Grécia Antiga, entendiam o cálculo da área como o processo de construção geometricamente de um quadrado com a mesma área (quadratura). É por isso que o processo foi nomeado como quadratura. Por exemplo, uma quadratura do círculo, Lune de Hipócrates, A Quadratura da Parábola. Esta construção deve ser realizada apenas por meio de bússola e reto.

Os antigos babilônios usaram a regra trapezoidal para integrar o movimento de Júpiter ao longo da eclíptica.

Antigo método para encontrar a média geométrica

Para uma quadratura de um retângulo com os lados a e b é necessário construir um quadrado com o lado $x=\sqrt{ab}$ (a média geométrica de a e b). Para isso, é possível utilizar o seguinte fato: se desenharmos o círculo com a soma de a e b como diâmetro, então a altura BH (de um ponto de sua conexão com a travessia com um círculo) é igual à sua média geométrica. A construção geométrica semelhante resolve um problema de uma quadratura para um paralelograma e um triângulo.

Problemas de quadratura para figuras curvilíneas são muito mais difíceis. A quadratura do círculo com bússola e reta tinha sido provada no século XIX como impossível. No entanto, para algumas figuras (por exemplo, a Lune de Hipócrates) uma quadratura pode ser realizada. As quadraturas de uma superfície de esfera e um segmento de parábola feito por Arquimedes tornaram-se a maior conquista da análise antiga.

Área de segmento parábola

• A área da superfície de uma esfera é igual a quadruplicar a área de um grande círculo desta esfera.
• A área de um segmento da parábola cortada por uma linha reta é 4/3 a área do triângulo inscrito neste segmento.

Para a comprovação dos resultados, Arquimedes utilizou o Método de exaustão de Eudoxo.

Na Europa medieval, a quadratura significava cálculo de área por qualquer método. Mais frequentemente, utilizou-se o Método de indivisíveis; era menos rigoroso, mas mais simples e poderoso. Com sua ajuda Galileu Galilei e Gilles de Roberval encontraram a área de um arco cicloide, Grégoire de Saint-Vincent investigou a área sob uma hipérbole (Opus Geometricum, 1647), e Alphonse Antonio de Sarasa, aluno e comentarista de Saint-Vincent, observou a relação desta área com logaritmos.

John Wallis algebrised este método: ele escreveu em sua série Arithmetica Infinitorum (1656), que agora chamamos de integral definitiva, e calculou seus valores. Isaac Barrow e James Gregory fizeram mais progressos: quadraturas para algumas curvas algébrias e espirais. Christiaan Huygens realizou com sucesso uma quadratura de alguns Sólidos da revolução.

A quadratura da hipérbole de São Vicente e de Sarasa proporcionou uma nova função, o logaritmo natural,de importância crítica.

Com a invenção do cálculo integral veio um método universal para o cálculo da área. Em resposta, o termo quadratura tornou-se tradicional, e em vez disso, a frase moderna "computação de uma integral univariada definitiva" é mais comum.Predefinição:Carece de fontes

Ordem de aproximação

Um esquema de integração numérica é dito ter ordem de aproximação N se for exato para cada polinômio de grau menor ou igual a N.

Exemplos

Regras de Newton-Cotes

Superfície em vermelho representa o valor estimado da integral pelo método do ponto médio ou dos retângulos

Superfície em vermelho representa o valor estimado da integral pelo método dos trapézios

Superfície em vermelho representa o valor estimado da integral pelo método Simpson

As regras abaixo são conhecidas como Fórmulas de Newton-Cotes, há dois tipos delas as abertas e as fechadas. A regra do ponto médio é uma fórmula de Newton-Cotes aberta. A regra trapezoidal e de Simpson são exemplos de uma categoria de métodos conhecida como fórmulas de Newton-Cotes fechada. A fórmula de Newton-Cotes é chamada fechada quando o conjunto de seus pontos incluem os extremos do intervalo de integração.

• Regra do Ponto Médio ou dos retângulos:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\simeq (b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)$

• Regra Trapezoidal:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\simeq (b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}$

• Regra de Simpson:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\simeq (b-a)\frac{f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)}{6}$

Integral	Valor exato	Regra dos retângulos	Regra trapezoidal	Regra de Simpson
$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx$	$e-1\simeq 1,7183$	$e^{(\frac{1+0}{2})}\simeq 1,6487$	$\frac{1+e}{2}\simeq 1,8591$	$\frac{1+4e^{1/2}+e}{6}\simeq 1,7189$
$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx$	$\frac{\pi }{4}\simeq 0,7854$	$\sqrt{1-0.5^2}\simeq 0,8660$	$\frac{1}{2}=0,5$	$\frac{1+4\frac{\sqrt{3}}{2}+0}{6}\simeq 0,7440$

Erro de aproximação

Pode-se mostrar que o erro assumido ao aproximar a integral de uma função suficientemente diferenciável pelo método do ponto médio é de $+\frac{h^3}{24}{f}^{″}(x_0)$; método trapezoidal é $-\frac{h^3}{12}{f}^{″}(x_0)$, onde $x_0$ é um ponto do intervalo de integração e $h$ é o comprimento deste intervalo. Um resultado análogo indica que o erro do método de Simpson é $-\frac{h^5}{90}{f}^{(4)}(x_0)$.

Observação: Na medida em que o termo do erro para a regra do ponto médio e do trapezoidal envolve $f^{″}$, estas regras fornecem resultados exatos quando aplicadas a qualquer função cuja derivada de 2ª ordem é igual a zero. Em particular, é exata para qualquer polinômio de grau menor ou igual a 2. Já o erro do método de Simpson envolve a derivada $4^a$ ordem, a regra de Simpson tem ordem de aproximação 3.

Métodos compostos

Os chamados métodos compostos consistem em dividir o intervalo de integração em diversos subintervalos e aplicar um método de quadratura em cada um dos intervalos:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\sum _{i=1}^N\underset{a_i}{\overset{b_i}{\int }}f(x)dx$

onde $a_1=a$, $b_i=a_{i+1}$ e $b_n=b$. O princípio básico destes métodos é o fato de o erro decrescer rapidamente com o comprimento do intervalo.

Exemplos

Os seguintes exemplos foram construídos subdividindo o intervalo de integração em subintervalos de comprimento constante e sob a notação $x_1=a$, $x_n=b$ e $x_{n+1}=x_n+h$.

• Regra trapezoidal composta:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\simeq \frac{h}{2}[f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+\dots +f(x_n)]$

• Regra de Simpson composta:

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\simeq \frac{h}{3}[f(x_1)+4f(x_2)+2f(x_3)+4f(x_4)+\dots +2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_n)]$$

aqui n deve ser um número ímpar.

Outros métodos de quadratura numérica

• Método de Romberg
• Quadratura Gauss-Tchebycheff
• Quadratura Gauss-Legendre

Método do Cálculo multi-dimensional integrante

• Método de Monte Carlo

Método de Cálculo determinante forma integral

• Método de Laplace para integrais do tipo $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{Mf(x)}\text{d}x$;
• Método de ponto-neck para integrais do tipo $I(\lambda )=\underset{𝒞}{\int }f(z)e^{\lambda g(z)}\text{d}z$.

Ver também

• Integração de Monte Carlo
• Diferenciação numérica
• Método dos elementos finitos
• Métodos das diferenças finitas