Distribuição de Boltzmann

Predefinição:Sem notas Em física a Distribuição de Boltzmann permite calcular a função distribuição para um número fracionário de partículas N_i / N ocupando um conjunto de estados i cada um dos quais tem energia E_i:

$\frac{N_i}{N}=\frac{g_i{e}^{-E_i/k_{B}T}}{Z(T)}$

onde $k_B$ é a constante de Boltzmann, T é a temperatura (admitida como sendo uma quantidade precisamente bem definida), $g_i$ é a degeneração, ou número de estados tendo energia $E_i$, N é o total do número de partículas:

$N=\sum _i{N}_i$

e Z(T) é chamada função partição, a qual pode ser tratada como sendo igual a

$Z(T)=\sum _i{g}_i{e}^{-E_i/k_{B}T}.$

Alternativamente, para um sistema único em uma temperatura bem definida, ela dá a probabilidade deste sistema em seu estado específico. A distribuição de Boltzmann aplica-se somente à partículas em uma suficiente alta temperatura e baixa densidade nas quais efeitos quânticos possam ser ignorados, e cujas partículas obedeçam a estatística de Maxwell–Boltzmann. (Veja este artigo para uma derivação da distribuição de Boltzmann.)

A distribuição de Boltzmann é frequentemente expressa em termos de β = 1/kT aonde β refere-se ao beta termodinâmico. O termo $e^{-\beta E_i}$ ou $e^{-E_i/(kT)}$, o qual dá a relativa probabilidade (não normalizada) de um estado, é chamada factor de Boltzmann e aparece frequentemente no estudo da física e química.

Quando a energia é simplesmente a energia cinética da partícula

$E_i=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}m{v}^2,$

então a distribuição corretamente dá a distribuição de Maxwell-Boltzmann das velocidades das moléculas do gás, previamente previstas por Maxwell em 1859. A distribuição de Boltzmann é, entretanto, muito mais geral. Por exemplo, ela prediz a variação da densidade de partículas num campo gravitacional em relação à altitude, se $E_i=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}m{v}^2+mgh$. De fato a distribuição aplica-se sempre que as considerações quânticas possam ser ignoradas.

Em alguns casos, uma aproximação contínua pode ser usada. Se há g(E) dE estados com energia E a E + dE, quando a distribuição de Boltzmann prediz uma probabilidade de distribuição para a energia:

$p(E)dE=\frac{g(E)\exp (-\beta E)}{\int g(E^{\prime })\exp (-\beta E^{\prime })d{E}^{\prime }}dE.$

Quando g(E) é chamado densidade de estado se o espectro de energia é contínuo.

Partículas clássicas com esta distribuição de energia são ditas obedientes à estatística de Maxwell–Boltzmann.

No limite clássico, i.e. em grandes volumes de E/kT ou às menores densidades de estados — quando funções de onda de partículas praticamente não se sobrepõe, tanto a distribuição Bose–Einstein ou a Fermi–Dirac tornam-se a distribuição de Boltzmann.

Ver também

• Estatística de Maxwell–Boltzmann

Ligações externas

• Predefinição:Link
• Função de distribuição de Boltzmann(I). Temperatura e Entropia em www.física.ufs.br
• Teoria Cinética dos Gases - C.A. Bertulani - www.if.ufrj.br