Resíduo (análise complexa)

Gráfico tridimensional do valor absoluto da função gama complexa

Em análise complexa, o resíduo de uma função analítica f numa singularidade p é um número complexo que permite calcular o valor de um integral de linha de f cuja imagem esteja na vizinhança de p. Há métodos simples de cálculo de resíduos e, por outro lado, o conhecimento dos resíduos de f permite calcular integrais de f ao longo de lacetes arbitrários, através do teorema dos resíduos.

Motivação

Como exemplo, considere a integral de contorno

${\oint }_C\frac{e^z}{z^5}dz$

onde C é uma curva de Jordan em torno de 0.

Agora calculamos essa integral utilizando os teoremas padrões de integral disponíveis. Assim, a série de Taylor para e^z é conhecida, e podemos substituir esta série no integrando. A integral passa a ser

${\oint }_C\frac{1}{z^5}(1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{z^5}{5!}+\frac{z^6}{6!}+\cdots )dz.$

Trazendo o termo 1/z⁵ para dentro da série, obtemos

${\oint }_C(\frac{1}{z^5}+\frac{z}{z^5}+\frac{z^2}{2!z^5}+\frac{z^3}{3!z^5}+\frac{z^4}{4!z^5}+\frac{z^5}{5!z^5}+\frac{z^6}{6!z^5}+\cdots )dz=$

${\oint }_C(\frac{1}{z^5}+\frac{1}{z^4}+\frac{1}{2!z^3}+\frac{1}{3!z^2}+\frac{1}{4!z}+\frac{1}{5!}+\frac{z}{6!}+\cdots )dz.$

A integral agora toma uma forma muito mais simples. Lembre-se que

${\oint }_C\frac{1}{z^a}dz=0,a\in \mathbb{Z},\text{ para }a\ne 1.$

Então, a integral em torno de C de todos os termos que não estão na forma cz⁻¹ são iguais a zero e a integral é reduzida a

${\oint }_C\frac{1}{4!z}dz=\frac{1}{4!}{\oint }_C\frac{1}{z}dz=\frac{1}{4!}(2\pi i)=\frac{\pi i}{12}.$

O valor 1/4! é conhecido como o resíduo de e^z/z⁵ em z = 0, e denotado como

$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}(f,0),\mathrm{o}\mathrm{u}{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_0\frac{e^z}{z^5}\mathrm{o}\mathrm{u}{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{z=0}\frac{e^z}{z^5},.$

Definição

Seja $\mathrm{\Omega }$ um subconjunto aberto do plano complexo $ℂ$, e $z_0$ um ponto de $\mathrm{\Omega }$. Seja

$f:\mathrm{\Omega }\setminus \{z_0\}\to ℂ$

uma função holomorfa, que apresenta em $z_0$ uma singularidade isolada e possui uma única expansão local na série de Laurent

$f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n.$

O resíduo de $f$ em $z_0$ é o coeficiente $a_{-1}$ da série de Laurent.

Ver também

• Teorema dos resíduos
• Fórmula integral de Cauchy
• Teorema de Cauchy-Goursat
• Teorema de Morera

Bibliografia

• L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979.
• Ruel V. Churchill, Complex variables and applications, McGrall Hill, 1960

Ligações externas

• Eric W. Weisstein, Complex Residue no MathWorld.
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