Soma da série de Grandi

Considerações gerais

Estabilidade e linearidade

As manipulações formais que conduzem a 1 − 1 + 1 − 1 + · · · sendo atribuído um valor de ¹⁄₂ inclui:

• Adição ou subtração de duas séries termo-a-termo,
• Multiplicação através de um termo-a-termo escalar,
• "Deslocar" as séries com nenhum mudança na soma, e
• Aumento da soma adicionando um novo termo na cabeça da série.

Todas essas são manipulações legais para as somas de séries convergentes, mas 1 − 1 + 1 − 1 + · · · não é uma série convergente.

Todavia, há muitos métodos de soma que respeitam essas manipulações e que atribuem uma "suma" à série de Grandi. Dois destes métodos mais simples são: soma de Cesàro e soma de Abel.

Separação de escalas

Dado qualquer função φ(x) tal que φ(0) = 1, o limite de φ a +∞ é 0, e a derivada de φ é integral sobre (0, +∞), então a generalizada φ-soma da série de Grandi existe e é igual a ¹⁄₂:

$S_{\phi }=\underset{\delta \downarrow 0}{\lim }\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m\phi (\delta m)=\frac{1}{2}.$

A soma de Cesàro ou Abel é recuperada por deixar de φ ser uma função triangular ou exponencial, respectivamente. Se φ é assumido adicionalmente ser continuamente diferenciável, então a reivindicação pode ser provada aplicando o teorema do valor médio e convertendo a soma em em integral. Rapidamente:

$\begin{array}{ccc}{S}_{\phi }& =& \underset{\delta \downarrow 0}{\lim }\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}[\phi (2k\delta )-\phi (2k\delta -\delta )]\\ & =& \underset{\delta \downarrow 0}{\lim }\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{\phi }^{\prime }(2k\delta +c_k)(-\delta )\\ & =& -\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\phi }^{\prime }(x)dx=-\frac{1}{2}\phi (x){|}_0^{\mathrm{\infty }}=\frac{1}{2}.\end{array}$

Referências

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